Algebravorstufe Beispiele

$\frac{6}{14 (x - 7)} > - \frac{8}{14 (x + 7)}$

Schritt 1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $14$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 (3)}{14 (x - 7)} > - \frac{8}{14 (x + 7)}$

Schritt 1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $14 (x - 7)$ heraus.

$\frac{2 (3)}{2 (7 (x - 7))} > - \frac{8}{14 (x + 7)}$

Schritt 1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 3}{2 (7 (x - 7))} > - \frac{8}{14 (x + 7)}$

Schritt 1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{7 (x - 7)} > - \frac{8}{14 (x + 7)}$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $7 (x - 7)$ .

$\frac{3}{7 (x - 7)} (7 (x - 7)) = - \frac{8}{14 (x + 7)} (7 (x - 7))$

Schritt 3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Vereinfache $\frac{3}{7 (x - 7)} (7 (x - 7))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$7 \frac{3}{7 (x - 7)} (x - 7) = - \frac{8}{14 (x + 7)} (7 (x - 7))$

Schritt 3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$7 \frac{3}{7 (x - 7)} (x - 7) = - \frac{8}{14 (x + 7)} (7 (x - 7))$

Schritt 3.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{x - 7} (x - 7) = - \frac{8}{14 (x + 7)} (7 (x - 7))$

Schritt 3.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 7$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{x - 7} (x - 7) = - \frac{8}{14 (x + 7)} (7 (x - 7))$

Schritt 3.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$3 = - \frac{8}{14 (x + 7)} (7 (x - 7))$

Schritt 3.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Vereinfache $- \frac{8}{14 (x + 7)} (7 (x - 7))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{8}{14 (x + 7)}$ in den Zähler.

$3 = \frac{- 8}{14 (x + 7)} (7 (x - 7))$

Schritt 3.2.1.1.2

Faktorisiere $7$ aus $14 (x + 7)$ heraus.

$3 = \frac{- 8}{7 (2 (x + 7))} (7 (x - 7))$

Schritt 3.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 = \frac{- 8}{7 (2 (x + 7))} (7 (x - 7))$

Schritt 3.2.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$3 = \frac{- 8}{2 (x + 7)} (x - 7)$

Schritt 3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 8$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 8$ heraus.

$3 = \frac{2 \cdot - 4}{2 (x + 7)} (x - 7)$

Schritt 3.2.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 = \frac{2 \cdot - 4}{2 (x + 7)} (x - 7)$

Schritt 3.2.1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$3 = \frac{- 4}{x + 7} (x - 7)$

Schritt 3.2.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$3 = - \frac{4}{x + 7} (x - 7)$

Schritt 3.2.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$3 = - \frac{4}{x + 7} x - \frac{4}{x + 7} \cdot - 7$

Schritt 3.2.1.5

Kombiniere $x$ und $\frac{4}{x + 7}$ .

$3 = - \frac{x \cdot 4}{x + 7} - \frac{4}{x + 7} \cdot - 7$

Schritt 3.2.1.6

Multipliziere $- \frac{4}{x + 7} \cdot - 7$ .

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Schritt 3.2.1.6.1

Mutltipliziere $- 7$ mit $- 1$ .

$3 = - \frac{x \cdot 4}{x + 7} + 7 \frac{4}{x + 7}$

Schritt 3.2.1.6.2

Kombiniere $7$ und $\frac{4}{x + 7}$ .

$3 = - \frac{x \cdot 4}{x + 7} + \frac{7 \cdot 4}{x + 7}$

Schritt 3.2.1.6.3

Mutltipliziere $7$ mit $4$ .

$3 = - \frac{x \cdot 4}{x + 7} + \frac{28}{x + 7}$

Schritt 3.2.1.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 = \frac{- x \cdot 4 + 28}{x + 7}$

Schritt 3.2.1.8

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$3 = \frac{- 4 x + 28}{x + 7}$

Schritt 3.2.1.9

Faktorisiere $4$ aus $- 4 x + 28$ heraus.

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Schritt 3.2.1.9.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4 x$ heraus.

$3 = \frac{4 (- x) + 28}{x + 7}$

Schritt 3.2.1.9.2

Faktorisiere $4$ aus $28$ heraus.

$3 = \frac{4 (- x) + 4 (7)}{x + 7}$

Schritt 3.2.1.9.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (- x) + 4 (7)$ heraus.

$3 = \frac{4 (- x + 7)}{x + 7}$

Schritt 3.2.1.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$3 = \frac{4 (- (x) + 7)}{x + 7}$

Schritt 3.2.1.11

Schreibe $7$ als $- 1 (- 7)$ um.

$3 = \frac{4 (- (x) - 1 (- 7))}{x + 7}$

Schritt 3.2.1.12

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 7)$ heraus.

$3 = \frac{4 (- (x - 7))}{x + 7}$

Schritt 3.2.1.13

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.1.13.1

Schreibe $- (x - 7)$ als $- 1 (x - 7)$ um.

$3 = \frac{4 (- 1 (x - 7))}{x + 7}$

Schritt 3.2.1.13.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$3 = - \frac{4 (x - 7)}{x + 7}$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $- \frac{4 (x - 7)}{x + 7} = 3$ um.

$- \frac{4 (x - 7)}{x + 7} = 3$

Schritt 4.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x + 7, 1$

Schritt 4.2.2

Entferne die Klammern.

$x + 7, 1$

Schritt 4.2.3

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x + 7$

Schritt 4.3

Multipliziere jeden Term in $- \frac{4 (x - 7)}{x + 7} = 3$ mit $x + 7$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 4.3.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{4 (x - 7)}{x + 7} = 3$ mit $x + 7$ .

$- \frac{4 (x - 7)}{x + 7} (x + 7) = 3 (x + 7)$

Schritt 4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 7$ .

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Schritt 4.3.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{4 (x - 7)}{x + 7}$ in den Zähler.

$\frac{- 4 (x - 7)}{x + 7} (x + 7) = 3 (x + 7)$

Schritt 4.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 (x - 7)}{x + 7} (x + 7) = 3 (x + 7)$

Schritt 4.3.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- 4 (x - 7) = 3 (x + 7)$

Schritt 4.3.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- 4 x - 4 \cdot - 7 = 3 (x + 7)$

Schritt 4.3.2.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 7$ .

$- 4 x + 28 = 3 (x + 7)$

Schritt 4.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 4 x + 28 = 3 x + 3 \cdot 7$

Schritt 4.3.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $7$ .

$- 4 x + 28 = 3 x + 21$

Schritt 4.4

Löse die Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.4.1.1

Subtrahiere $3 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 x + 28 - 3 x = 21$

Schritt 4.4.1.2

Subtrahiere $3 x$ von $- 4 x$ .

$- 7 x + 28 = 21$

Schritt 4.4.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.2.1

Subtrahiere $28$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 7 x = 21 - 28$

Schritt 4.4.2.2

Subtrahiere $28$ von $21$ .

$- 7 x = - 7$

Schritt 4.4.3

Teile jeden Ausdruck in $- 7 x = - 7$ durch $- 7$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 7 x = - 7$ durch $- 7$ .

$\frac{- 7 x}{- 7} = \frac{- 7}{- 7}$

Schritt 4.4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 7$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 7 x}{- 7} = \frac{- 7}{- 7}$

Schritt 4.4.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 7}{- 7}$

Schritt 4.4.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.3.3.1

Dividiere $- 7$ durch $- 7$ .

$x = 1$

Schritt 5

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{3}{7 (x - 7)} + \frac{4}{7 (x + 7)}$ .

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Schritt 5.1

Setze den Nenner in $\frac{3}{7 (x - 7)}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$7 (x - 7) = 0$

Schritt 5.2

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $7 (x - 7) = 0$ durch $7$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1

Teile jeden Ausdruck in $7 (x - 7) = 0$ durch $7$ .

$\frac{7 (x - 7)}{7} = \frac{0}{7}$

Schritt 5.2.1.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7 (x - 7)}{7} = \frac{0}{7}$

Schritt 5.2.1.2.1.2

Dividiere $x - 7$ durch $1$ .

$x - 7 = \frac{0}{7}$

Schritt 5.2.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1.3.1

Dividiere $0$ durch $7$ .

$x - 7 = 0$

Schritt 5.2.2

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 7$

Schritt 5.3

Setze den Nenner in $\frac{4}{7 (x + 7)}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$7 (x + 7) = 0$

Schritt 5.4

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $7 (x + 7) = 0$ durch $7$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.1.1

Teile jeden Ausdruck in $7 (x + 7) = 0$ durch $7$ .

$\frac{7 (x + 7)}{7} = \frac{0}{7}$

Schritt 5.4.1.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7 (x + 7)}{7} = \frac{0}{7}$

Schritt 5.4.1.2.1.2

Dividiere $x + 7$ durch $1$ .

$x + 7 = \frac{0}{7}$

Schritt 5.4.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.1.3.1

Dividiere $0$ durch $7$ .

$x + 7 = 0$

Schritt 5.4.2

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 7$

Schritt 5.5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, - 7) \cup (- 7, 7) \cup (7, \infty)$

Schritt 6

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 7$

$- 7 < x < 1$

$1 < x < 7$

$x > 7$

Schritt 7

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 7.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 7$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 7$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 10$

Schritt 7.1.2

Ersetze $x$ durch $- 10$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{6}{14 ((- 10) - 7)} > - \frac{8}{14 ((- 10) + 7)}$

Schritt 7.1.3

Die linke Seite $- 0.02521008$ ist nicht größer als die rechte Seite $0.\overline{190476}$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 7.2

Teste einen Wert im Intervall $- 7 < x < 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 7 < x < 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 7.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{6}{14 ((0) - 7)} > - \frac{8}{14 ((0) + 7)}$

Schritt 7.2.3

Die linke Seite $- 0.06122448$ ist größer als die rechte Seite $- 0.08163265$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 7.3

Teste einen Wert im Intervall $1 < x < 7$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $1 < x < 7$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 7.3.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{6}{14 ((4) - 7)} > - \frac{8}{14 ((4) + 7)}$

Schritt 7.3.3

Die linke Seite $- 0.\overline{142857}$ ist nicht größer als die rechte Seite $- 0.\overline{051948}$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 7.4

Teste einen Wert im Intervall $x > 7$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 7$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 10$

Schritt 7.4.2

Ersetze $x$ durch $10$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{6}{14 ((10) - 7)} > - \frac{8}{14 ((10) + 7)}$

Schritt 7.4.3

Die linke Seite $0.\overline{142857}$ ist größer als die rechte Seite $- 0.03361344$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 7.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 7$ Falsch

$- 7 < x < 1$ Wahr

$1 < x < 7$ Falsch

$x > 7$ Wahr

$x < - 7$ Falsch

$- 7 < x < 1$ Wahr

$1 < x < 7$ Falsch

$x > 7$ Wahr

Schritt 8

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 7 < x < 1$ oder $x > 7$

Schritt 9