Algebravorstufe Beispiele

$\frac{5 y - 3}{2 y + 8}$

Schritt 1

Ermittle, wo der Ausdruck $\frac{5 y - 3}{2 (y + 4)}$ nicht definiert ist.

$y = - 4$

Schritt 2

$x = \frac{5 y - 3}{2 (y + 4)}$ ist eine Gleichung einer Geraden, was bedeutet, dass es keine horizontalen Asymptoten gibt.

Keine horizontalen Asymptoten

Schritt 3

Ermittle die schiefe Asymptote durch Polynomdivision.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 y + 8$ heraus.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 y$ heraus.

$\frac{5 y - 3}{2 (y) + 8}$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$\frac{5 y - 3}{2 y + 2 \cdot 4}$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 y + 2 \cdot 4$ heraus.

$\frac{5 y - 3}{2 (y + 4)}$

Schritt 3.2

Multipliziere $2 (y + 4)$ aus.

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Schritt 3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 y - 3}{2 y + 2 \cdot 4}$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{5 y - 3}{2 y + 8}$

Schritt 3.3

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$2 y$

$8$

$5 y$

$3$

Schritt 3.4

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $5 y$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 y$ .

					$\frac{5}{2}$
	$2 y$	+	$8$		$5 y$	-	$3$

Schritt 3.5

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$\frac{5}{2}$
$2 y$	+	$8$		$5 y$	-	$3$
			+	$5 y$	+	$20$

Schritt 3.6

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $5 y + 20$

				$\frac{5}{2}$
$2 y$	+	$8$		$5 y$	-	$3$
			-	$5 y$	-	$20$

Schritt 3.7

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$\frac{5}{2}$
$2 y$	+	$8$		$5 y$	-	$3$
			-	$5 y$	-	$20$
					-	$23$

Schritt 3.8

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$\frac{5}{2} - \frac{23}{2 y + 8}$

Schritt 3.9

Die schiefe Asymptote ist der Polynomteil des Ergebnisses der schriftlichen Division.

$y = \frac{5}{2}$

Schritt 4

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Vertikale Asymptoten: $y = - 4$

Keine horizontalen Asymptoten

Schiefe Asymptoten: $y = \frac{5}{2}$

Schritt 5