Algebravorstufe Beispiele

$\frac{{(x - 9)}^{2}}{9} - \frac{{(y - 10)}^{2}}{7} = 1$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

$\frac{{(x - 9)}^{2}}{9} - \frac{{(y - 10)}^{2}}{7} = 1$

Schritt 2

Dies ist die Form einer Hyperbel. Wende diese Form an, um die Werte zu ermitteln, die benutzt werden, um die Scheitelpunkte und Asymptoten einer Hyperbel zu bestimmen.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Schritt 3

Gleiche die Werte in dieser Hyperbel mit denen der Standardform ab. Die Variable $h$ stellt das x-Offset vom Ursprung dar, $k$ das y-Offset vom Ursprung, $a$ .

$a = 3$

$b = \sqrt{7}$

$k = 10$

$h = 9$

Schritt 4

Der Mittelpunkt einer Hyperbel folgt der Form von $(h, k)$ . Setze die Werte von $h$ und $k$ ein.

$(9, 10)$

Schritt 5

Berechne $c$ , den Abstand zwischen Mittelpunkt und Brennpunkt.

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Schritt 5.1

Ermittle den Abstand vom Mittelpunkt zu einem Brennpunkt der Hyperbel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Schritt 5.2

Ersetze die Werte von $a$ und $b$ in der Formel.

$\sqrt{{(3)}^{2} + {(\sqrt{7})}^{2}}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\sqrt{9 + {(\sqrt{7})}^{2}}$

Schritt 5.3.2

Schreibe ${\sqrt{7}}^{2}$ als $7$ um.

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Schritt 5.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{7}$ als $7^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{9 + {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 5.3.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{9 + 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 5.3.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{9 + 7^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{9 + 7^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.3.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{9 + 7^{1}}$

Schritt 5.3.2.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{9 + 7}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.3.3.1

Addiere $9$ und $7$ .

$\sqrt{16}$

Schritt 5.3.3.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\sqrt{4^{2}}$

Schritt 5.3.3.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$4$

Schritt 6

Finde die Scheitelpunkte.

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Schritt 6.1

Der erste Scheitelpunkt einer Hyperbel kann durch Addieren von $a$ zu $h$ ermittelt werden.

$(h + a, k)$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(12, 10)$

Schritt 6.3

Der zweite Scheitelpunkt einer Hyperbel kann durch Substrahieren von $a$ von $h$ ermittelt werden.

$(h - a, k)$

Schritt 6.4

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(6, 10)$

Schritt 6.5

Die Scheitelpunkte einer Hyperbel folgen der Form $(h \pm a, k)$ . Hyperbeln haben zwei Scheitelpunkte.

$(12, 10), (6, 10)$

Schritt 7

Ermittle die Brennpunkte.

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Schritt 7.1

Der erste Brennpunkt einer Hyperbel kann durch Addieren von $c$ zu $h$ gefunden werden.

$(h + c, k)$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(13, 10)$

Schritt 7.3

Der zweite Brennpunkt einer Hyperbel kann durch Substrahieren von $c$ von $h$ ermittelt werden.

$(h - c, k)$

Schritt 7.4

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(5, 10)$

Schritt 7.5

Die Brennpunkt einer Hyperbel folgen der Form $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Hyperbeln haben zwei Brennpunkte.

$(13, 10), (5, 10)$

Schritt 8

Ermittle die Exzentrizität.

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Schritt 8.1

Bestimme die Exzentrizität mittels der folgenden Formel.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Schritt 8.2

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel ein.

$\frac{\sqrt{{(3)}^{2} + {(\sqrt{7})}^{2}}}{3}$

Schritt 8.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{9 + {\sqrt{7}}^{2}}}{3}$

Schritt 8.3.2

Schreibe ${\sqrt{7}}^{2}$ als $7$ um.

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Schritt 8.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{7}$ als $7^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt{9 + {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{3}$

Schritt 8.3.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{9 + 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{3}$

Schritt 8.3.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\sqrt{9 + 7^{\frac{2}{2}}}}{3}$

Schritt 8.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.3.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{9 + 7^{\frac{2}{2}}}}{3}$

Schritt 8.3.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{9 + 7^{1}}}{3}$

Schritt 8.3.2.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{\sqrt{9 + 7}}{3}$

Schritt 8.3.3

Addiere $9$ und $7$ .

$\frac{\sqrt{16}}{3}$

Schritt 8.3.4

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{4^{2}}}{3}$

Schritt 8.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{4}{3}$

Schritt 9

Bestimme den fokalen Parameter.

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Schritt 9.1

Ermittle den Wert für den fokalen Parameter der Hyperbel mithilfe der folgenden Formel.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Schritt 9.2

Ersetze die Werte von $b$ und $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ in der Formel.

$\frac{{\sqrt{7}}^{2}}{4}$

Schritt 9.3

Schreibe ${\sqrt{7}}^{2}$ als $7$ um.

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Schritt 9.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{7}$ als $7^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Schritt 9.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Schritt 9.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{7^{\frac{2}{2}}}{4}$

Schritt 9.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7^{\frac{2}{2}}}{4}$

Schritt 9.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{7^{1}}{4}$

Schritt 9.3.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{7}{4}$

Schritt 10

Die Asymptoten folgen der Form $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ , da diese Hyperbel sich nach links und rechts öffnet.

$y = \pm \frac{\sqrt{7}}{3} \cdot (x - (9)) + 10$

Schritt 11

Vereinfache, um die erste Asymptote zu ermitteln.

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Schritt 11.1

Entferne die Klammern.

$y = \frac{\sqrt{7}}{3} \cdot (x - (9)) + 10$

Schritt 11.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$y = \frac{\sqrt{7}}{3} \cdot (x - 9) + 10$

Schritt 11.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{\sqrt{7}}{3} x + \frac{\sqrt{7}}{3} \cdot - 9 + 10$

Schritt 11.2.3

Kombiniere $\frac{\sqrt{7}}{3}$ und $x$ .

$y = \frac{\sqrt{7} x}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3} \cdot - 9 + 10$

Schritt 11.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 11.2.4.1

Faktorisiere $3$ aus $- 9$ heraus.

$y = \frac{\sqrt{7} x}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3} \cdot (3 (- 3)) + 10$

Schritt 11.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{\sqrt{7} x}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3} \cdot (3 \cdot - 3) + 10$

Schritt 11.2.4.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{\sqrt{7} x}{3} + \sqrt{7} \cdot - 3 + 10$

Schritt 11.2.5

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $\sqrt{7}$ .

$y = \frac{\sqrt{7} x}{3} - 3 \sqrt{7} + 10$

Schritt 12

Vereinfache, um die zweite Asymptote zu ermitteln.

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Schritt 12.1

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{\sqrt{7}}{3} \cdot (x - (9)) + 10$

Schritt 12.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$y = - \frac{\sqrt{7}}{3} \cdot (x - 9) + 10$

Schritt 12.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - \frac{\sqrt{7}}{3} x - \frac{\sqrt{7}}{3} \cdot - 9 + 10$

Schritt 12.2.3

Kombiniere $x$ und $\frac{\sqrt{7}}{3}$ .

$y = - \frac{x \sqrt{7}}{3} - \frac{\sqrt{7}}{3} \cdot - 9 + 10$

Schritt 12.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 12.2.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\sqrt{7}}{3}$ in den Zähler.

$y = - \frac{x \sqrt{7}}{3} + \frac{- \sqrt{7}}{3} \cdot - 9 + 10$

Schritt 12.2.4.2

Faktorisiere $3$ aus $- 9$ heraus.

$y = - \frac{x \sqrt{7}}{3} + \frac{- \sqrt{7}}{3} \cdot (3 (- 3)) + 10$

Schritt 12.2.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - \frac{x \sqrt{7}}{3} + \frac{- \sqrt{7}}{3} \cdot (3 \cdot - 3) + 10$

Schritt 12.2.4.4

Forme den Ausdruck um.

$y = - \frac{x \sqrt{7}}{3} - \sqrt{7} \cdot - 3 + 10$

Schritt 12.2.5

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$y = - \frac{x \sqrt{7}}{3} + 3 \sqrt{7} + 10$

Schritt 13

Diese Hyperbel hat zwei Asymptoten.

$y = \frac{\sqrt{7} x}{3} - 3 \sqrt{7} + 10, y = - \frac{x \sqrt{7}}{3} + 3 \sqrt{7} + 10$

Schritt 14

Diese Werte stellen die wichtigen Werte für die graphische Darstellung und Analyse einer Hyperbel dar.

Mittelpunkt: $(9, 10)$

Scheitelpunkte: $(12, 10), (6, 10)$

Brennpunkte: $(13, 10), (5, 10)$

Exzentrizität: $\frac{4}{3}$

Fokaler Parameter: $\frac{7}{4}$

Asymptoten: $y = \frac{\sqrt{7} x}{3} - 3 \sqrt{7} + 10$ , $y = - \frac{x \sqrt{7}}{3} + 3 \sqrt{7} + 10$

Schritt 15