Algebravorstufe Beispiele

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{25} - \frac{{(y - 2)}^{2}}{75} = 1$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{25} - \frac{{(y - 2)}^{2}}{75} = 1$

Schritt 2

Dies ist die Form einer Hyperbel. Wende diese Form an, um die Werte zu ermitteln, die benutzt werden, um die Scheitelpunkte und Asymptoten einer Hyperbel zu bestimmen.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Schritt 3

Gleiche die Werte in dieser Hyperbel mit denen der Standardform ab. Die Variable $h$ stellt das x-Offset vom Ursprung dar, $k$ das y-Offset vom Ursprung, $a$ .

$a = 5$

$b = 5 \sqrt{3}$

$k = 2$

$h = 5$

Schritt 4

Der Mittelpunkt einer Hyperbel folgt der Form von $(h, k)$ . Setze die Werte von $h$ und $k$ ein.

$(5, 2)$

Schritt 5

Berechne $c$ , den Abstand zwischen Mittelpunkt und Brennpunkt.

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Schritt 5.1

Ermittle den Abstand vom Mittelpunkt zu einem Brennpunkt der Hyperbel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Schritt 5.2

Ersetze die Werte von $a$ und $b$ in der Formel.

$\sqrt{{(5)}^{2} + {(5 \sqrt{3})}^{2}}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.3.1.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\sqrt{25 + {(5 \sqrt{3})}^{2}}$

Schritt 5.3.1.2

Wende die Produktregel auf $5 \sqrt{3}$ an.

$\sqrt{25 + 5^{2} {\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 5.3.1.3

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\sqrt{25 + 25 {\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 5.3.2

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 5.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{25 + 25 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 5.3.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{25 + 25 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 5.3.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{25 + 25 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{25 + 25 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.3.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{25 + 25 \cdot 3^{1}}$

Schritt 5.3.2.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{25 + 25 \cdot 3}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.3.3.1

Mutltipliziere $25$ mit $3$ .

$\sqrt{25 + 75}$

Schritt 5.3.3.2

Addiere $25$ und $75$ .

$\sqrt{100}$

Schritt 5.3.3.3

Schreibe $100$ als $10^{2}$ um.

$\sqrt{10^{2}}$

Schritt 5.3.3.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$10$

Schritt 6

Finde die Scheitelpunkte.

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Schritt 6.1

Der erste Scheitelpunkt einer Hyperbel kann durch Addieren von $a$ zu $h$ ermittelt werden.

$(h + a, k)$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(10, 2)$

Schritt 6.3

Der zweite Scheitelpunkt einer Hyperbel kann durch Substrahieren von $a$ von $h$ ermittelt werden.

$(h - a, k)$

Schritt 6.4

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(0, 2)$

Schritt 6.5

Die Scheitelpunkte einer Hyperbel folgen der Form $(h \pm a, k)$ . Hyperbeln haben zwei Scheitelpunkte.

$(10, 2), (0, 2)$

Schritt 7

Ermittle die Brennpunkte.

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Schritt 7.1

Der erste Brennpunkt einer Hyperbel kann durch Addieren von $c$ zu $h$ gefunden werden.

$(h + c, k)$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(15, 2)$

Schritt 7.3

Der zweite Brennpunkt einer Hyperbel kann durch Substrahieren von $c$ von $h$ ermittelt werden.

$(h - c, k)$

Schritt 7.4

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(- 5, 2)$

Schritt 7.5

Die Brennpunkt einer Hyperbel folgen der Form $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Hyperbeln haben zwei Brennpunkte.

$(15, 2), (- 5, 2)$

Schritt 8

Ermittle die Exzentrizität.

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Schritt 8.1

Bestimme die Exzentrizität mittels der folgenden Formel.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Schritt 8.2

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel ein.

$\frac{\sqrt{{(5)}^{2} + {(5 \sqrt{3})}^{2}}}{5}$

Schritt 8.3

Vereinfache.

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Schritt 8.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.1.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{25 + {(5 \sqrt{3})}^{2}}}{5}$

Schritt 8.3.1.2

Wende die Produktregel auf $5 \sqrt{3}$ an.

$\frac{\sqrt{25 + 5^{2} {\sqrt{3}}^{2}}}{5}$

Schritt 8.3.1.3

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{25 + 25 {\sqrt{3}}^{2}}}{5}$

Schritt 8.3.1.4

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 8.3.1.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt{25 + 25 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{5}$

Schritt 8.3.1.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{25 + 25 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{5}$

Schritt 8.3.1.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\sqrt{25 + 25 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}}{5}$

Schritt 8.3.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.3.1.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{25 + 25 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}}{5}$

Schritt 8.3.1.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{25 + 25 \cdot 3^{1}}}{5}$

Schritt 8.3.1.4.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{\sqrt{25 + 25 \cdot 3}}{5}$

Schritt 8.3.1.5

Mutltipliziere $25$ mit $3$ .

$\frac{\sqrt{25 + 75}}{5}$

Schritt 8.3.1.6

Addiere $25$ und $75$ .

$\frac{\sqrt{100}}{5}$

Schritt 8.3.1.7

Schreibe $100$ als $10^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{10^{2}}}{5}$

Schritt 8.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{10}{5}$

Schritt 8.3.2

Dividiere $10$ durch $5$ .

$2$

Schritt 9

Bestimme den fokalen Parameter.

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Schritt 9.1

Ermittle den Wert für den fokalen Parameter der Hyperbel mithilfe der folgenden Formel.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Schritt 9.2

Ersetze die Werte von $b$ und $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ in der Formel.

$\frac{5 {\sqrt{3}}^{2}}{10}$

Schritt 9.3

Vereinfache.

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Schritt 9.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $5$ und $10$ .

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Schritt 9.3.1.1

Faktorisiere $5$ aus $5 {\sqrt{3}}^{2}$ heraus.

$\frac{5 ({\sqrt{3}}^{2})}{10}$

Schritt 9.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.3.1.2.1

Faktorisiere $5$ aus $10$ heraus.

$\frac{5 {\sqrt{3}}^{2}}{5 \cdot 2}$

Schritt 9.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 {\sqrt{3}}^{2}}{5 \cdot 2}$

Schritt 9.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2}$

Schritt 9.3.2

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 9.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}$

Schritt 9.3.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}$

Schritt 9.3.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2}$

Schritt 9.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.3.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2}$

Schritt 9.3.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3^{1}}{2}$

Schritt 9.3.2.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{3}{2}$

Schritt 10

Die Asymptoten folgen der Form $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ , da diese Hyperbel sich nach links und rechts öffnet.

$y = \pm \sqrt{3} \cdot (x - (5)) + 2$

Schritt 11

Vereinfache, um die erste Asymptote zu ermitteln.

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Schritt 11.1

Entferne die Klammern.

$y = \sqrt{3} \cdot (x - (5)) + 2$

Schritt 11.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$y = \sqrt{3} \cdot (x - 5) + 2$

Schritt 11.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \sqrt{3} x + \sqrt{3} \cdot - 5 + 2$

Schritt 11.2.3

Bringe $- 5$ auf die linke Seite von $\sqrt{3}$ .

$y = \sqrt{3} x - 5 \sqrt{3} + 2$

Schritt 12

Vereinfache, um die zweite Asymptote zu ermitteln.

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Schritt 12.1

Entferne die Klammern.

$y = - \sqrt{3} \cdot (x - (5)) + 2$

Schritt 12.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$y = - \sqrt{3} \cdot (x - 5) + 2$

Schritt 12.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - \sqrt{3} x - \sqrt{3} \cdot - 5 + 2$

Schritt 12.2.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 1$ .

$y = - \sqrt{3} x + 5 \sqrt{3} + 2$

Schritt 13

Diese Hyperbel hat zwei Asymptoten.

$y = \sqrt{3} x - 5 \sqrt{3} + 2, y = - \sqrt{3} x + 5 \sqrt{3} + 2$

Schritt 14

Diese Werte stellen die wichtigen Werte für die graphische Darstellung und Analyse einer Hyperbel dar.

Mittelpunkt: $(5, 2)$

Scheitelpunkte: $(10, 2), (0, 2)$

Brennpunkte: $(15, 2), (- 5, 2)$

Exzentrizität: $2$

Fokaler Parameter: $\frac{3}{2}$

Asymptoten: $y = \sqrt{3} x - 5 \sqrt{3} + 2$ , $y = - \sqrt{3} x + 5 \sqrt{3} + 2$

Schritt 15