Algebravorstufe Beispiele

$\frac{x^{2}}{{(\frac{36}{5})}^{2}} - \frac{y^{2}}{16} = 1$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

$\frac{x^{2}}{\frac{1296}{25}} - \frac{y^{2}}{16} = 1$

Schritt 2

Dies ist die Form einer Hyperbel. Wende diese Form an, um die Werte zu ermitteln, die benutzt werden, um die Scheitelpunkte und Asymptoten einer Hyperbel zu bestimmen.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Schritt 3

Gleiche die Werte in dieser Hyperbel mit denen der Standardform ab. Die Variable $h$ stellt das x-Offset vom Ursprung dar, $k$ das y-Offset vom Ursprung, $a$ .

$a = \frac{36}{5}$

$b = 4$

$k = 0$

$h = 0$

Schritt 4

Der Mittelpunkt einer Hyperbel folgt der Form von $(h, k)$ . Setze die Werte von $h$ und $k$ ein.

$(0, 0)$

Schritt 5

Berechne $c$ , den Abstand zwischen Mittelpunkt und Brennpunkt.

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Schritt 5.1

Ermittle den Abstand vom Mittelpunkt zu einem Brennpunkt der Hyperbel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Schritt 5.2

Ersetze die Werte von $a$ und $b$ in der Formel.

$\sqrt{{(\frac{36}{5})}^{2} + {(4)}^{2}}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Wende die Produktregel auf $\frac{36}{5}$ an.

$\sqrt{\frac{36^{2}}{5^{2}} + {(4)}^{2}}$

Schritt 5.3.2

Potenziere $36$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{1296}{5^{2}} + {(4)}^{2}}$

Schritt 5.3.3

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{1296}{25} + {(4)}^{2}}$

Schritt 5.3.4

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{1296}{25} + 16}$

Schritt 5.3.5

Um $16$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{25}{25}$ .

$\sqrt{\frac{1296}{25} + 16 \cdot \frac{25}{25}}$

Schritt 5.3.6

Kombiniere $16$ und $\frac{25}{25}$ .

$\sqrt{\frac{1296}{25} + \frac{16 \cdot 25}{25}}$

Schritt 5.3.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{1296 + 16 \cdot 25}{25}}$

Schritt 5.3.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.8.1

Mutltipliziere $16$ mit $25$ .

$\sqrt{\frac{1296 + 400}{25}}$

Schritt 5.3.8.2

Addiere $1296$ und $400$ .

$\sqrt{\frac{1696}{25}}$

Schritt 5.3.9

Schreibe $\sqrt{\frac{1696}{25}}$ als $\frac{\sqrt{1696}}{\sqrt{25}}$ um.

$\frac{\sqrt{1696}}{\sqrt{25}}$

Schritt 5.3.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.10.1

Schreibe $1696$ als $4^{2} \cdot 106$ um.

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Schritt 5.3.10.1.1

Faktorisiere $16$ aus $1696$ heraus.

$\frac{\sqrt{16 (106)}}{\sqrt{25}}$

Schritt 5.3.10.1.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{4^{2} \cdot 106}}{\sqrt{25}}$

Schritt 5.3.10.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{4 \sqrt{106}}{\sqrt{25}}$

Schritt 5.3.11

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.11.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\frac{4 \sqrt{106}}{\sqrt{5^{2}}}$

Schritt 5.3.11.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{4 \sqrt{106}}{5}$

Schritt 6

Finde die Scheitelpunkte.

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Schritt 6.1

Der erste Scheitelpunkt einer Hyperbel kann durch Addieren von $a$ zu $h$ ermittelt werden.

$(h + a, k)$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(\frac{36}{5}, 0)$

Schritt 6.3

Der zweite Scheitelpunkt einer Hyperbel kann durch Substrahieren von $a$ von $h$ ermittelt werden.

$(h - a, k)$

Schritt 6.4

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(- \frac{36}{5}, 0)$

Schritt 6.5

Die Scheitelpunkte einer Hyperbel folgen der Form $(h \pm a, k)$ . Hyperbeln haben zwei Scheitelpunkte.

$(\frac{36}{5}, 0), (- \frac{36}{5}, 0)$

Schritt 7

Ermittle die Brennpunkte.

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Schritt 7.1

Der erste Brennpunkt einer Hyperbel kann durch Addieren von $c$ zu $h$ gefunden werden.

$(h + c, k)$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(\frac{4 \sqrt{106}}{5}, 0)$

Schritt 7.3

Der zweite Brennpunkt einer Hyperbel kann durch Substrahieren von $c$ von $h$ ermittelt werden.

$(h - c, k)$

Schritt 7.4

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(- \frac{4 \sqrt{106}}{5}, 0)$

Schritt 7.5

Die Brennpunkt einer Hyperbel folgen der Form $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Hyperbeln haben zwei Brennpunkte.

$(\frac{4 \sqrt{106}}{5}, 0), (- \frac{4 \sqrt{106}}{5}, 0)$

Schritt 8

Ermittle die Exzentrizität.

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Schritt 8.1

Bestimme die Exzentrizität mittels der folgenden Formel.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Schritt 8.2

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel ein.

$\frac{\sqrt{{(\frac{36}{5})}^{2} + {(4)}^{2}}}{\frac{36}{5}}$

Schritt 8.3

Vereinfache.

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Schritt 8.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\sqrt{{(\frac{36}{5})}^{2} + 4^{2}} \frac{5}{36}$

Schritt 8.3.2

Wende die Produktregel auf $\frac{36}{5}$ an.

$\sqrt{\frac{36^{2}}{5^{2}} + 4^{2}} \frac{5}{36}$

Schritt 8.3.3

Potenziere $36$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{1296}{5^{2}} + 4^{2}} \frac{5}{36}$

Schritt 8.3.4

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{1296}{25} + 4^{2}} \frac{5}{36}$

Schritt 8.3.5

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{1296}{25} + 16} \frac{5}{36}$

Schritt 8.3.6

Um $16$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{25}{25}$ .

$\sqrt{\frac{1296}{25} + 16 \cdot \frac{25}{25}} \frac{5}{36}$

Schritt 8.3.7

Kombiniere $16$ und $\frac{25}{25}$ .

$\sqrt{\frac{1296}{25} + \frac{16 \cdot 25}{25}} \frac{5}{36}$

Schritt 8.3.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{1296 + 16 \cdot 25}{25}} \frac{5}{36}$

Schritt 8.3.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.9.1

Mutltipliziere $16$ mit $25$ .

$\sqrt{\frac{1296 + 400}{25}} \frac{5}{36}$

Schritt 8.3.9.2

Addiere $1296$ und $400$ .

$\sqrt{\frac{1696}{25}} \frac{5}{36}$

Schritt 8.3.10

Schreibe $\sqrt{\frac{1696}{25}}$ als $\frac{\sqrt{1696}}{\sqrt{25}}$ um.

$\frac{\sqrt{1696}}{\sqrt{25}} \cdot \frac{5}{36}$

Schritt 8.3.11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.11.1

Schreibe $1696$ als $4^{2} \cdot 106$ um.

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Schritt 8.3.11.1.1

Faktorisiere $16$ aus $1696$ heraus.

$\frac{\sqrt{16 (106)}}{\sqrt{25}} \cdot \frac{5}{36}$

Schritt 8.3.11.1.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{4^{2} \cdot 106}}{\sqrt{25}} \cdot \frac{5}{36}$

Schritt 8.3.11.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{4 \sqrt{106}}{\sqrt{25}} \cdot \frac{5}{36}$

Schritt 8.3.12

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.3.12.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\frac{4 \sqrt{106}}{\sqrt{5^{2}}} \cdot \frac{5}{36}$

Schritt 8.3.12.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{4 \sqrt{106}}{5} \cdot \frac{5}{36}$

Schritt 8.3.13

Vereinfache Terme.

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Schritt 8.3.13.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 8.3.13.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4 \sqrt{106}$ heraus.

$\frac{4 (\sqrt{106})}{5} \cdot \frac{5}{36}$

Schritt 8.3.13.1.2

Faktorisiere $4$ aus $36$ heraus.

$\frac{4 (\sqrt{106})}{5} \cdot \frac{5}{4 (9)}$

Schritt 8.3.13.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \sqrt{106}}{5} \cdot \frac{5}{4 \cdot 9}$

Schritt 8.3.13.1.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{106}}{5} \cdot \frac{5}{9}$

Schritt 8.3.13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 8.3.13.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{106}}{5} \cdot \frac{5}{9}$

Schritt 8.3.13.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{106} \frac{1}{9}$

Schritt 8.3.13.3

Kombiniere $\sqrt{106}$ und $\frac{1}{9}$ .

$\frac{\sqrt{106}}{9}$

Schritt 9

Bestimme den fokalen Parameter.

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Schritt 9.1

Ermittle den Wert für den fokalen Parameter der Hyperbel mithilfe der folgenden Formel.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Schritt 9.2

Ersetze die Werte von $b$ und $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ in der Formel.

$\frac{\frac{4^{2}}{4 \sqrt{106}}}{5}$

Schritt 9.3

Vereinfache.

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Schritt 9.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4^{2}$ und $4$ .

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Schritt 9.3.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4^{2}$ heraus.

$\frac{\frac{4 \cdot 4}{4 \sqrt{106}}}{5}$

Schritt 9.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.3.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 \sqrt{106}$ heraus.

$\frac{\frac{4 \cdot 4}{4 (\sqrt{106})}}{5}$

Schritt 9.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{4 \cdot 4}{4 \sqrt{106}}}{5}$

Schritt 9.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{4}{\sqrt{106}}}{5}$

Schritt 9.3.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{4}{\sqrt{106}} \cdot \frac{1}{5}$

Schritt 9.3.3

Mutltipliziere $\frac{4}{\sqrt{106}}$ mit $\frac{\sqrt{106}}{\sqrt{106}}$ .

$\frac{4}{\sqrt{106}} \cdot \frac{\sqrt{106}}{\sqrt{106}} \frac{1}{5}$

Schritt 9.3.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.3.4.1

Mutltipliziere $\frac{4}{\sqrt{106}}$ mit $\frac{\sqrt{106}}{\sqrt{106}}$ .

$\frac{4 \sqrt{106}}{\sqrt{106} \sqrt{106}} \cdot \frac{1}{5}$

Schritt 9.3.4.2

Potenziere $\sqrt{106}$ mit $1$ .

$\frac{4 \sqrt{106}}{{\sqrt{106}}^{1} \sqrt{106}} \cdot \frac{1}{5}$

Schritt 9.3.4.3

Potenziere $\sqrt{106}$ mit $1$ .

$\frac{4 \sqrt{106}}{{\sqrt{106}}^{1} {\sqrt{106}}^{1}} \cdot \frac{1}{5}$

Schritt 9.3.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{4 \sqrt{106}}{{\sqrt{106}}^{1 + 1}} \cdot \frac{1}{5}$

Schritt 9.3.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{4 \sqrt{106}}{{\sqrt{106}}^{2}} \cdot \frac{1}{5}$

Schritt 9.3.4.6

Schreibe ${\sqrt{106}}^{2}$ als $106$ um.

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Schritt 9.3.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{106}$ als $106^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{4 \sqrt{106}}{{(106^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{1}{5}$

Schritt 9.3.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 \sqrt{106}}{106^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \frac{1}{5}$

Schritt 9.3.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{4 \sqrt{106}}{106^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{1}{5}$

Schritt 9.3.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.3.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \sqrt{106}}{106^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{1}{5}$

Schritt 9.3.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 \sqrt{106}}{106^{1}} \cdot \frac{1}{5}$

Schritt 9.3.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{4 \sqrt{106}}{106} \cdot \frac{1}{5}$

Schritt 9.3.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $106$ .

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Schritt 9.3.5.1

Faktorisiere $2$ aus $4 \sqrt{106}$ heraus.

$\frac{2 (2 \sqrt{106})}{106} \cdot \frac{1}{5}$

Schritt 9.3.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.3.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $106$ heraus.

$\frac{2 (2 \sqrt{106})}{2 (53)} \cdot \frac{1}{5}$

Schritt 9.3.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (2 \sqrt{106})}{2 \cdot 53} \cdot \frac{1}{5}$

Schritt 9.3.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \sqrt{106}}{53} \cdot \frac{1}{5}$

Schritt 9.3.6

Multipliziere $\frac{2 \sqrt{106}}{53} \cdot \frac{1}{5}$ .

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Schritt 9.3.6.1

Mutltipliziere $\frac{2 \sqrt{106}}{53}$ mit $\frac{1}{5}$ .

$\frac{2 \sqrt{106}}{53 \cdot 5}$

Schritt 9.3.6.2

Mutltipliziere $53$ mit $5$ .

$\frac{2 \sqrt{106}}{265}$

Schritt 10

Die Asymptoten folgen der Form $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ , da diese Hyperbel sich nach links und rechts öffnet.

$y = \pm \frac{5}{9} x + 0$

Schritt 11

Vereinfache $\frac{5}{9} x + 0$ .

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Schritt 11.1

Addiere $\frac{5}{9} x$ und $0$ .

$y = \frac{5}{9} x$

Schritt 11.2

Kombiniere $\frac{5}{9}$ und $x$ .

$y = \frac{5 x}{9}$

Schritt 12

Vereinfache $- \frac{5}{9} x + 0$ .

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Schritt 12.1

Addiere $- \frac{5}{9} x$ und $0$ .

$y = - \frac{5}{9} x$

Schritt 12.2

Kombiniere $x$ und $\frac{5}{9}$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{9}$

Schritt 12.3

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x$ .

$y = - \frac{5 x}{9}$

Schritt 13

Diese Hyperbel hat zwei Asymptoten.

$y = \frac{5 x}{9}, y = - \frac{5 x}{9}$

Schritt 14

Diese Werte stellen die wichtigen Werte für die graphische Darstellung und Analyse einer Hyperbel dar.

Mittelpunkt: $(0, 0)$

Scheitelpunkte: $(\frac{36}{5}, 0), (- \frac{36}{5}, 0)$

Brennpunkte: $(\frac{4 \sqrt{106}}{5}, 0), (- \frac{4 \sqrt{106}}{5}, 0)$

Exzentrizität: $\frac{\sqrt{106}}{9}$

Fokaler Parameter: $\frac{2 \sqrt{106}}{265}$

Asymptoten: $y = \frac{5 x}{9}$ , $y = - \frac{5 x}{9}$

Schritt 15