Algebravorstufe Beispiele

$\frac{\frac{x^{2} + x - 6}{x^{2} - 4 x}}{\frac{4 x - 8}{x - 3}}$

Schritt 1

Ermittle, wo der Ausdruck $\frac{(x + 3) (x - 3)}{4 x (x - 4)}$ nicht definiert ist.

$x = 0, x = 4$

Schritt 2

Da $\frac{(x + 3) (x - 3)}{4 x (x - 4)}$ $\to$ $- \infty$ , wenn $x$ $\to$ $0$ von links und $\frac{(x + 3) (x - 3)}{4 x (x - 4)}$ $\to$ $\infty$ , wenn $x$ $\to$ $0$ von rechts, dann ist $x = 0$ eine vertikale Asymptote.

$x = 0$

Schritt 3

Da $\frac{(x + 3) (x - 3)}{4 x (x - 4)}$ $\to$ $- \infty$ , wenn $x$ $\to$ $4$ von links und $\frac{(x + 3) (x - 3)}{4 x (x - 4)}$ $\to$ $\infty$ , wenn $x$ $\to$ $4$ von rechts, dann ist $x = 4$ eine vertikale Asymptote.

$x = 4$

Schritt 4

Liste alle vertikalen Asymptoten auf:

$x = 0, 4$

Schritt 5

Betrachte die rationale Funktion $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , wobei $n$ der Grad des Zählers und $m$ der Grad des Nenners ist.

1. Wenn $n < m$ , dann ist die x-Achse, $y = 0$ , die horizontale Asymptote.

2. Wenn $n = m$ , dann ist die horizontale Asymptote die Gerade $y = \frac{a}{b}$ .

3. Wenn $n > m$ , dann gibt es keine horizontale Asymptote (es gibt eine schiefe Asymptote).

Schritt 6

Ermittle $n$ und $m$ .

$n = 2$

$m = 2$

Schritt 7

Da $n = m$ , ist die horizontale Asymptote die Gerade $y = \frac{a}{b}$ mit $a = 1$ und $b = 4$ .

$y = \frac{1}{4}$

Schritt 8

Es gibt keine schiefe Asymptote, da der Grad des Zählers kleiner oder gleich dem Grad des Nenners ist.

Keine schiefen Asymptoten

Schritt 9

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Vertikale Asymptoten: $x = 0, 4$

Horizontale Asymptoten: $y = \frac{1}{4}$

Keine schiefen Asymptoten

Schritt 10