Algebravorstufe Beispiele

Stelle graphisch dar |(2x-1)/x|<2
Schritt 1
Schreibe als abschnittsweise Funktion.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1
Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.
Schritt 1.2
Löse die Ungleichung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.1
Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit und auflösen.
Schritt 1.2.2
Addiere zu beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 1.2.3
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.3.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 1.2.3.2
Vereinfache die linke Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.3.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.3.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.2.3.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 1.2.4
Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.
Schritt 1.2.5
Fasse die Lösungen zusammen.
Schritt 1.2.6
Bestimme den Definitionsbereich von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.6.1
Setze den Nenner in gleich , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.
Schritt 1.2.6.2
Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von , für die der Ausdruck definiert ist.
Schritt 1.2.7
Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.
Schritt 1.2.8
Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.8.1
Teste einen Wert im Intervall , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.8.1.1
Wähle einen Wert aus dem Intervall und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.
Schritt 1.2.8.1.2
Ersetze durch in der ursprünglichen Ungleichung.
Schritt 1.2.8.1.3
Die linke Seite ist größer als die rechte Seite , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.
True
True
Schritt 1.2.8.2
Teste einen Wert im Intervall , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.8.2.1
Wähle einen Wert aus dem Intervall und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.
Schritt 1.2.8.2.2
Ersetze durch in der ursprünglichen Ungleichung.
Schritt 1.2.8.2.3
Die linke Seite ist kleiner als die rechte Seite , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.
False
False
Schritt 1.2.8.3
Teste einen Wert im Intervall , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.2.8.3.1
Wähle einen Wert aus dem Intervall und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.
Schritt 1.2.8.3.2
Ersetze durch in der ursprünglichen Ungleichung.
Schritt 1.2.8.3.3
Die linke Seite ist größer als die rechte Seite , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.
True
True
Schritt 1.2.8.4
Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.
Wahr
Falsch
Wahr
Wahr
Falsch
Wahr
Schritt 1.2.9
Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.
oder
oder
Schritt 1.3
Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem nicht negativ ist.
Schritt 1.4
Bestimme den Definitionsbereich von und ermittle die Schnittmenge mit .
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Schritt 1.4.1
Bestimme den Definitionsbereich von .
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Schritt 1.4.1.1
Setze den Nenner in gleich , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.
Schritt 1.4.1.2
Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von , für die der Ausdruck definiert ist.
Schritt 1.4.2
Bestimme die Schnittmenge von und .
Schritt 1.5
Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.
Schritt 1.6
Löse die Ungleichung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.6.1
Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit und auflösen.
Schritt 1.6.2
Addiere zu beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 1.6.3
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.6.3.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 1.6.3.2
Vereinfache die linke Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.6.3.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.6.3.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.6.3.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 1.6.4
Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.
Schritt 1.6.5
Fasse die Lösungen zusammen.
Schritt 1.6.6
Bestimme den Definitionsbereich von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.6.6.1
Setze den Nenner in gleich , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.
Schritt 1.6.6.2
Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von , für die der Ausdruck definiert ist.
Schritt 1.6.7
Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.
Schritt 1.6.8
Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.6.8.1
Teste einen Wert im Intervall , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.6.8.1.1
Wähle einen Wert aus dem Intervall und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.
Schritt 1.6.8.1.2
Ersetze durch in der ursprünglichen Ungleichung.
Schritt 1.6.8.1.3
Die linke Seite ist nicht kleiner als die rechte Seite , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.
False
False
Schritt 1.6.8.2
Teste einen Wert im Intervall , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.6.8.2.1
Wähle einen Wert aus dem Intervall und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.
Schritt 1.6.8.2.2
Ersetze durch in der ursprünglichen Ungleichung.
Schritt 1.6.8.2.3
Die linke Seite ist kleiner als die rechte Seite , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.
True
True
Schritt 1.6.8.3
Teste einen Wert im Intervall , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.6.8.3.1
Wähle einen Wert aus dem Intervall und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.
Schritt 1.6.8.3.2
Ersetze durch in der ursprünglichen Ungleichung.
Schritt 1.6.8.3.3
Die linke Seite ist nicht kleiner als die rechte Seite , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.
False
False
Schritt 1.6.8.4
Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.
Falsch
Wahr
Falsch
Falsch
Wahr
Falsch
Schritt 1.6.9
Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.
Schritt 1.7
Entferne den Absolutwert und multipliziere mit in dem Teil, in dem negativ ist.
Schritt 1.8
Bestimme den Definitionsbereich von und ermittle die Schnittmenge mit .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.8.1
Bestimme den Definitionsbereich von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.8.1.1
Setze den Nenner in gleich , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.
Schritt 1.8.1.2
Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von , für die der Ausdruck definiert ist.
Schritt 1.8.2
Bestimme die Schnittmenge von und .
Schritt 1.9
Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.
Schritt 2
Löse , wenn ergibt.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.1
Löse nach auf.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.1.1
Subtrahiere von beiden Seiten der Ungleichung.
Schritt 2.1.2
Vereinfache .
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Schritt 2.1.2.1
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 2.1.2.2
Kombiniere und .
Schritt 2.1.2.3
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 2.1.2.4
Vereinfache den Zähler.
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Schritt 2.1.2.4.1
Subtrahiere von .
Schritt 2.1.2.4.2
Subtrahiere von .
Schritt 2.1.2.5
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 2.1.3
Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit und auflösen.
Schritt 2.1.4
Bestimme den Definitionsbereich von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.1.4.1
Setze den Nenner in gleich , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.
Schritt 2.1.4.2
Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von , für die der Ausdruck definiert ist.
Schritt 2.1.5
Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.
Schritt 2.2
Bestimme die Schnittmenge von und .
Schritt 3
Löse , wenn ergibt.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.1
Löse nach auf.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.1.1
Subtrahiere von beiden Seiten der Ungleichung.
Schritt 3.1.2
Vereinfache .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.1.2.1
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 3.1.2.2
Kombiniere und .
Schritt 3.1.2.3
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 3.1.2.4
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.1.2.4.1
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 3.1.2.4.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.1.2.4.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.1.2.4.4
Subtrahiere von .
Schritt 3.1.2.5
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 3.1.2.6
Schreibe als um.
Schritt 3.1.2.7
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 3.1.2.8
Schreibe als um.
Schritt 3.1.2.9
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 3.1.3
Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit und auflösen.
Schritt 3.1.4
Addiere zu beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 3.1.5
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.1.5.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 3.1.5.2
Vereinfache die linke Seite.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.1.5.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.1.5.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 3.1.5.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 3.1.6
Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.
Schritt 3.1.7
Fasse die Lösungen zusammen.
Schritt 3.1.8
Bestimme den Definitionsbereich von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.1.8.1
Setze den Nenner in gleich , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.
Schritt 3.1.8.2
Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von , für die der Ausdruck definiert ist.
Schritt 3.1.9
Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.
Schritt 3.1.10
Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.1.10.1
Teste einen Wert im Intervall , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.1.10.1.1
Wähle einen Wert aus dem Intervall und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.
Schritt 3.1.10.1.2
Ersetze durch in der ursprünglichen Ungleichung.
Schritt 3.1.10.1.3
Die linke Seite ist kleiner als die rechte Seite , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.
True
True
Schritt 3.1.10.2
Teste einen Wert im Intervall , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.1.10.2.1
Wähle einen Wert aus dem Intervall und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.
Schritt 3.1.10.2.2
Ersetze durch in der ursprünglichen Ungleichung.
Schritt 3.1.10.2.3
Die linke Seite ist nicht kleiner als die rechte Seite , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.
False
False
Schritt 3.1.10.3
Teste einen Wert im Intervall , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 3.1.10.3.1
Wähle einen Wert aus dem Intervall und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.
Schritt 3.1.10.3.2
Ersetze durch in der ursprünglichen Ungleichung.
Schritt 3.1.10.3.3
Die linke Seite ist kleiner als die rechte Seite , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.
True
True
Schritt 3.1.10.4
Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.
Wahr
Falsch
Wahr
Wahr
Falsch
Wahr
Schritt 3.1.11
Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.
oder
oder
Schritt 3.2
Bestimme die Schnittmenge von und .
Schritt 4
Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.
Schritt 5
Bestimme den Definitionsbereich von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.1
Setze den Nenner in gleich , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.
Schritt 5.2
Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von , für die der Ausdruck definiert ist.
Schritt 6
Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.
Schritt 7