Algebravorstufe Beispiele

$\frac{y^{2} - 2 y + 1}{2 y - 3}$

Schritt 1

Ermittle, wo der Ausdruck $\frac{{(y - 1)}^{2}}{2 y - 3}$ nicht definiert ist.

$y = \frac{3}{2}$

Schritt 2

$x = \frac{{(y - 1)}^{2}}{2 y - 3}$ ist eine Gleichung einer Geraden, was bedeutet, dass es keine horizontalen Asymptoten gibt.

Keine horizontalen Asymptoten

Schritt 3

Ermittle die schiefe Asymptote durch Polynomdivision.

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Schritt 3.1

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 3.1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{y^{2} - 2 y + 1^{2}}{2 y - 3}$

Schritt 3.1.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 y = 2 \cdot y \cdot 1$

Schritt 3.1.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{y^{2} - 2 \cdot y \cdot 1 + 1^{2}}{2 y - 3}$

Schritt 3.1.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = y$ und $b = 1$ .

$\frac{{(y - 1)}^{2}}{2 y - 3}$

Schritt 3.2

Multipliziere ${(y - 1)}^{2}$ aus.

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Schritt 3.2.1

Schreibe ${(y - 1)}^{2}$ als $(y - 1) (y - 1)$ um.

$\frac{(y - 1) (y - 1)}{2 y - 3}$

Schritt 3.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{y (y - 1) - 1 (y - 1)}{2 y - 3}$

Schritt 3.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{y \cdot y + y \cdot - 1 - 1 (y - 1)}{2 y - 3}$

Schritt 3.2.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{y \cdot y + y \cdot - 1 - 1 y - 1 \cdot - 1}{2 y - 3}$

Schritt 3.2.5

Stelle $y$ und $- 1$ um.

$\frac{y \cdot y - 1 y - 1 y - 1 \cdot - 1}{2 y - 3}$

Schritt 3.2.6

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{y \cdot y - 1 y - 1 y - 1 \cdot - 1}{2 y - 3}$

Schritt 3.2.7

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{y \cdot y - 1 y - 1 y - 1 \cdot - 1}{2 y - 3}$

Schritt 3.2.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{y^{1 + 1} - 1 y - 1 y - 1 \cdot - 1}{2 y - 3}$

Schritt 3.2.9

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{y^{2} - 1 y - 1 y - 1 \cdot - 1}{2 y - 3}$

Schritt 3.2.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{y^{2} - 1 y - 1 y + 1}{2 y - 3}$

Schritt 3.2.11

Subtrahiere $1 y$ von $- 1 y$ .

$\frac{y^{2} - 2 y + 1}{2 y - 3}$

Schritt 3.3

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$2 y$

$3$

$y^{2}$

$2 y$

$1$

Schritt 3.4

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $y^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 y$ .

					$\frac{y}{2}$
	$2 y$	-	$3$		$y^{2}$	-	$2 y$	+	$1$

Schritt 3.5

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$\frac{y}{2}$
$2 y$	-	$3$		$y^{2}$	-	$2 y$	+	$1$
			+	$y^{2}$	-	$\frac{3 y}{2}$

Schritt 3.6

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $y^{2} - \frac{3 y}{2}$

				$\frac{y}{2}$
$2 y$	-	$3$		$y^{2}$	-	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	+	$\frac{3 y}{2}$

Schritt 3.7

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$\frac{y}{2}$
$2 y$	-	$3$		$y^{2}$	-	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	+	$\frac{3 y}{2}$
					-	$\frac{y}{2}$

Schritt 3.8

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$\frac{y}{2}$
$2 y$	-	$3$		$y^{2}$	-	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	+	$\frac{3 y}{2}$
					-	$\frac{y}{2}$	+	$1$

Schritt 3.9

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- \frac{y}{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 y$ .

				$\frac{y}{2}$	-	$\frac{1}{4}$
$2 y$	-	$3$		$y^{2}$	-	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	+	$\frac{3 y}{2}$
					-	$\frac{y}{2}$	+	$1$

Schritt 3.10

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$\frac{y}{2}$	-	$\frac{1}{4}$
$2 y$	-	$3$		$y^{2}$	-	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	+	$\frac{3 y}{2}$
					-	$\frac{y}{2}$	+	$1$
					-	$\frac{y}{2}$	+	$\frac{3}{4}$

Schritt 3.11

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- \frac{y}{2} + \frac{3}{4}$

				$\frac{y}{2}$	-	$\frac{1}{4}$
$2 y$	-	$3$		$y^{2}$	-	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	+	$\frac{3 y}{2}$
					-	$\frac{y}{2}$	+	$1$
					+	$\frac{y}{2}$	-	$\frac{3}{4}$

Schritt 3.12

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$\frac{y}{2}$	-	$\frac{1}{4}$
$2 y$	-	$3$		$y^{2}$	-	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	+	$\frac{3 y}{2}$
					-	$\frac{y}{2}$	+	$1$
					+	$\frac{y}{2}$	-	$\frac{3}{4}$
							+	$\frac{1}{4}$

Schritt 3.13

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$\frac{y}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4 (2 y - 3)}$

Schritt 3.14

Die schiefe Asymptote ist der Polynomteil des Ergebnisses der schriftlichen Division.

$y = \frac{y}{2} - \frac{1}{4}$

Schritt 4

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Vertikale Asymptoten: $y = \frac{3}{2}$

Keine horizontalen Asymptoten

Schiefe Asymptoten: $y = \frac{y}{2} - \frac{1}{4}$

Schritt 5