Algebravorstufe Beispiele

$| 7 - 2 x | < 9$

Schritt 1

Schreibe $| 7 - 2 x | < 9$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 1.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$7 - 2 x \geq 0$

Schritt 1.2

Löse die Ungleichung.

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Schritt 1.2.1

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- 2 x \geq - 7$

Schritt 1.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x \geq - 7$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.2.1

Teile jeden Term in $- 2 x \geq - 7$ durch $- 2$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- 2 x}{- 2} \leq \frac{- 7}{- 2}$

Schritt 1.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 1.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 x}{- 2} \leq \frac{- 7}{- 2}$

Schritt 1.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \leq \frac{- 7}{- 2}$

Schritt 1.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x \leq \frac{7}{2}$

Schritt 1.3

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $7 - 2 x$ nicht negativ ist.

$7 - 2 x < 9$

Schritt 1.4

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$7 - 2 x < 0$

Schritt 1.5

Löse die Ungleichung.

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Schritt 1.5.1

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- 2 x < - 7$

Schritt 1.5.2

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x < - 7$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 1.5.2.1

Teile jeden Term in $- 2 x < - 7$ durch $- 2$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- 2 x}{- 2} > \frac{- 7}{- 2}$

Schritt 1.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 1.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 x}{- 2} > \frac{- 7}{- 2}$

Schritt 1.5.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x > \frac{- 7}{- 2}$

Schritt 1.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x > \frac{7}{2}$

Schritt 1.6

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $7 - 2 x$ negativ ist.

$- (7 - 2 x) < 9$

Schritt 1.7

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} 7 - 2 x < 9 & x \leq \frac{7}{2} \\ - (7 - 2 x) < 9 & x > \frac{7}{2} \end{cases}$

Schritt 1.8

Vereinfache $- (7 - 2 x) < 9$ .

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Schritt 1.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

${\begin{cases} 7 - 2 x < 9 & x \leq \frac{7}{2} \\ - 1 \cdot 7 - (- 2 x) < 9 & x > \frac{7}{2} \end{cases}$

Schritt 1.8.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

${\begin{cases} 7 - 2 x < 9 & x \leq \frac{7}{2} \\ - 7 - (- 2 x) < 9 & x > \frac{7}{2} \end{cases}$

Schritt 1.8.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

${\begin{cases} 7 - 2 x < 9 & x \leq \frac{7}{2} \\ - 7 + 2 x < 9 & x > \frac{7}{2} \end{cases}$

Schritt 2

Löse $7 - 2 x < 9$ , wenn $x \leq \frac{7}{2}$ ergibt.

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Schritt 2.1

Löse $7 - 2 x < 9$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.1.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 2.1.1.1

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- 2 x < 9 - 7$

Schritt 2.1.1.2

Subtrahiere $7$ von $9$ .

$- 2 x < 2$

Schritt 2.1.2

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x < 2$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 2.1.2.1

Teile jeden Term in $- 2 x < 2$ durch $- 2$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- 2 x}{- 2} > \frac{2}{- 2}$

Schritt 2.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 2.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 x}{- 2} > \frac{2}{- 2}$

Schritt 2.1.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x > \frac{2}{- 2}$

Schritt 2.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.2.3.1

Dividiere $2$ durch $- 2$ .

$x > - 1$

Schritt 2.2

Bestimme die Schnittmenge von $x > - 1$ und $x \leq \frac{7}{2}$ .

$- 1 < x \leq \frac{7}{2}$

Schritt 3

Löse $- 7 + 2 x < 9$ , wenn $x > \frac{7}{2}$ ergibt.

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Schritt 3.1

Löse $- 7 + 2 x < 9$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.1.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 3.1.1.1

Addiere $7$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$2 x < 9 + 7$

Schritt 3.1.1.2

Addiere $9$ und $7$ .

$2 x < 16$

Schritt 3.1.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x < 16$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x < 16$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} < \frac{16}{2}$

Schritt 3.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} < \frac{16}{2}$

Schritt 3.1.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x < \frac{16}{2}$

Schritt 3.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1.2.3.1

Dividiere $16$ durch $2$ .

$x < 8$

Schritt 3.2

Bestimme die Schnittmenge von $x < 8$ und $x > \frac{7}{2}$ .

$\frac{7}{2} < x < 8$

Schritt 4

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$- 1 < x < 8$

Schritt 5