Algebravorstufe Beispiele

$\frac{1}{2} \cdot (x^{2} + 4 x - 5) - \frac{1}{2} \cdot 4 - 5$

Schritt 1

Vereinfache $\frac{1}{2} \cdot (x^{2} + 4 x - 5) - \frac{1}{2} \cdot 4 - 5$ .

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Schritt 1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} (4 x) + \frac{1}{2} \cdot - 5 - \frac{1}{2} \cdot 4 - 5$

Schritt 1.1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.1.2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} (4 x) + \frac{1}{2} \cdot - 5 - \frac{1}{2} \cdot 4 - 5$

Schritt 1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.1.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x$ heraus.

$y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} (2 (2 x)) + \frac{1}{2} \cdot - 5 - \frac{1}{2} \cdot 4 - 5$

Schritt 1.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} (2 (2 x)) + \frac{1}{2} \cdot - 5 - \frac{1}{2} \cdot 4 - 5$

Schritt 1.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{x^{2}}{2} + 2 x + \frac{1}{2} \cdot - 5 - \frac{1}{2} \cdot 4 - 5$

Schritt 1.1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 5$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + 2 x + \frac{- 5}{2} - \frac{1}{2} \cdot 4 - 5$

Schritt 1.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{x^{2}}{2} + 2 x - \frac{5}{2} - \frac{1}{2} \cdot 4 - 5$

Schritt 1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.1.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2}$ in den Zähler.

$y = \frac{x^{2}}{2} + 2 x - \frac{5}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot 4 - 5$

Schritt 1.1.4.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$y = \frac{x^{2}}{2} + 2 x - \frac{5}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot (2 (2)) - 5$

Schritt 1.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{x^{2}}{2} + 2 x - \frac{5}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot 2) - 5$

Schritt 1.1.4.4

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{x^{2}}{2} + 2 x - \frac{5}{2} - 1 \cdot 2 - 5$

Schritt 1.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + 2 x - \frac{5}{2} - 2 - 5$

Schritt 1.2

Um $- 2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + 2 x - \frac{5}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2} - 5$

Schritt 1.3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + 2 x - \frac{5}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} - 5$

Schritt 1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{x^{2}}{2} + 2 x + \frac{- 5 - 2 \cdot 2}{2} - 5$

Schritt 1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.5.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + 2 x + \frac{- 5 - 4}{2} - 5$

Schritt 1.5.2

Subtrahiere $4$ von $- 5$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + 2 x + \frac{- 9}{2} - 5$

Schritt 1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{x^{2}}{2} + 2 x - \frac{9}{2} - 5$

Schritt 1.7

Um $- 5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + 2 x - \frac{9}{2} - 5 \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 1.8

Kombiniere $- 5$ und $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + 2 x - \frac{9}{2} + \frac{- 5 \cdot 2}{2}$

Schritt 1.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{x^{2}}{2} + 2 x + \frac{- 9 - 5 \cdot 2}{2}$

Schritt 1.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.10.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $2$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + 2 x + \frac{- 9 - 10}{2}$

Schritt 1.10.2

Subtrahiere $10$ von $- 9$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + 2 x + \frac{- 19}{2}$

Schritt 1.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{x^{2}}{2} + 2 x - \frac{19}{2}$

Schritt 2

Ermittle die Eigenschaften der gegebenen Parabel.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 2.1.1

Wende die quadratische Ergänzung auf $\frac{x^{2}}{2} + 2 x - \frac{19}{2}$ an.

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Schritt 2.1.1.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{2}$

$b = 2$

$c = - \frac{19}{2}$

Schritt 2.1.1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 2.1.1.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 2.1.1.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{2}{2 (\frac{1}{2})}$

Schritt 2.1.1.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.1.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2}{2 (\frac{1}{2})}$

Schritt 2.1.1.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Schritt 2.1.1.3.2.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = 1 \cdot 2$

Schritt 2.1.1.3.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$d = 2$

Schritt 2.1.1.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 2.1.1.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = - \frac{19}{2} - \frac{2^{2}}{4 (\frac{1}{2})}$

Schritt 2.1.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.4.2.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$e = - \frac{19}{2} - \frac{4}{4 (\frac{1}{2})}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{2}$ .

$e = - \frac{19}{2} - \frac{4}{\frac{4}{2}}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.3

Dividiere $4$ durch $2$ .

$e = - \frac{19}{2} - \frac{4}{2}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.4

Dividiere $4$ durch $2$ .

$e = - \frac{19}{2} - 1 \cdot 2$

Schritt 2.1.1.4.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$e = - \frac{19}{2} - 2$

Schritt 2.1.1.4.2.2

Um $- 2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$e = - \frac{19}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 2.1.1.4.2.3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{2}{2}$ .

$e = - \frac{19}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}$

Schritt 2.1.1.4.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e = \frac{- 19 - 2 \cdot 2}{2}$

Schritt 2.1.1.4.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.1.4.2.5.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$e = \frac{- 19 - 4}{2}$

Schritt 2.1.1.4.2.5.2

Subtrahiere $4$ von $- 19$ .

$e = \frac{- 23}{2}$

Schritt 2.1.1.4.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e = - \frac{23}{2}$

Schritt 2.1.1.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $\frac{1}{2} {(x + 2)}^{2} - \frac{23}{2}$ ein.

$\frac{1}{2} {(x + 2)}^{2} - \frac{23}{2}$

Schritt 2.1.2

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = \frac{1}{2} \cdot {(x + 2)}^{2} - \frac{23}{2}$

Schritt 2.2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{2}$

$h = - 2$

$k = - \frac{23}{2}$

Schritt 2.3

Da der Wert von $a$ positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet.

Öffnet nach Oben

Schritt 2.4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(- 2, - \frac{23}{2})$

Schritt 2.5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 2.5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 2.5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{2}}$

Schritt 2.5.3

Vereinfache.

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Schritt 2.5.3.1

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{2}}$

Schritt 2.5.3.2

Dividiere $4$ durch $2$ .

$\frac{1}{2}$

Schritt 2.6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 2.6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur y-Koordinate $k$ ermittelt werden, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$(h, k + p)$

Schritt 2.6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(- 2, - 11)$

Schritt 2.7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$x = - 2$

Schritt 2.8

Finde die Leitlinie.

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Schritt 2.8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die horizontale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der y-Koordinate $k$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$y = k - p$

Schritt 2.8.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$y = - 12$

Schritt 2.9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach oben offen

Scheitelpunkt: $(- 2, - \frac{23}{2})$

Brennpunkt: $(- 2, - 11)$

Symmetrieachse: $x = - 2$

Leitlinie: $y = - 12$

Richtung: Nach oben offen

Scheitelpunkt: $(- 2, - \frac{23}{2})$

Brennpunkt: $(- 2, - 11)$

Symmetrieachse: $x = - 2$

Leitlinie: $y = - 12$

Schritt 3

Wähle einige $x$ -Werte aus und setze sie in die Gleichung ein, um die entsprechenden $y$ -Werte zu ermitteln. Die $x$ -Werte sollten um den Scheitelpunkt herum gewählt werden.

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 3$ .

$f (- 3) = \frac{{(- 3)}^{2}}{2} + 2 (- 3) - \frac{19}{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- 3) = 2 (- 3) + \frac{{(- 3)}^{2} - 19}{2}$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.1.2.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$f (- 3) = 2 (- 3) + \frac{9 - 19}{2}$

Schritt 3.2.1.2.2

Subtrahiere $19$ von $9$ .

$f (- 3) = 2 (- 3) + \frac{- 10}{2}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$f (- 3) = - 6 + \frac{- 10}{2}$

Schritt 3.2.2.2

Dividiere $- 10$ durch $2$ .

$f (- 3) = - 6 - 5$

Schritt 3.2.3

Subtrahiere $5$ von $- 6$ .

$f (- 3) = - 11$

Schritt 3.2.4

Die endgültige Lösung ist $- 11$ .

$- 11$

Schritt 3.3

Der $y$ -Wert bei $x = - 3$ ist $- 11$ .

$y = - 11$

Schritt 3.4

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 4$ .

$f (- 4) = \frac{{(- 4)}^{2}}{2} + 2 (- 4) - \frac{19}{2}$

Schritt 3.5

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.5.1

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.5.1.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- 4) = 2 (- 4) + \frac{{(- 4)}^{2} - 19}{2}$

Schritt 3.5.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.5.1.2.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$f (- 4) = 2 (- 4) + \frac{16 - 19}{2}$

Schritt 3.5.1.2.2

Subtrahiere $19$ von $16$ .

$f (- 4) = 2 (- 4) + \frac{- 3}{2}$

Schritt 3.5.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$f (- 4) = - 8 + \frac{- 3}{2}$

Schritt 3.5.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- 4) = - 8 - \frac{3}{2}$

Schritt 3.5.3

Um $- 8$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (- 4) = - 8 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2}$

Schritt 3.5.4

Kombiniere $- 8$ und $\frac{2}{2}$ .

$f (- 4) = \frac{- 8 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2}$

Schritt 3.5.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- 4) = \frac{- 8 \cdot 2 - 3}{2}$

Schritt 3.5.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.6.1

Mutltipliziere $- 8$ mit $2$ .

$f (- 4) = \frac{- 16 - 3}{2}$

Schritt 3.5.6.2

Subtrahiere $3$ von $- 16$ .

$f (- 4) = \frac{- 19}{2}$

Schritt 3.5.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- 4) = - \frac{19}{2}$

Schritt 3.5.8

Die endgültige Lösung ist $- \frac{19}{2}$ .

$- \frac{19}{2}$

Schritt 3.6

Der $y$ -Wert bei $x = - 4$ ist $- \frac{19}{2}$ .

$y = - \frac{19}{2}$

Schritt 3.7

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{2} + 2 (- 1) - \frac{19}{2}$

Schritt 3.8

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.8.1

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.8.1.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- 1) = 2 (- 1) + \frac{{(- 1)}^{2} - 19}{2}$

Schritt 3.8.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.8.1.2.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- 1) = 2 (- 1) + \frac{1 - 19}{2}$

Schritt 3.8.1.2.2

Subtrahiere $19$ von $1$ .

$f (- 1) = 2 (- 1) + \frac{- 18}{2}$

Schritt 3.8.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.8.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f (- 1) = - 2 + \frac{- 18}{2}$

Schritt 3.8.2.2

Dividiere $- 18$ durch $2$ .

$f (- 1) = - 2 - 9$

Schritt 3.8.3

Subtrahiere $9$ von $- 2$ .

$f (- 1) = - 11$

Schritt 3.8.4

Die endgültige Lösung ist $- 11$ .

$- 11$

Schritt 3.9

Der $y$ -Wert bei $x = - 1$ ist $- 11$ .

$y = - 11$

Schritt 3.10

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = \frac{{(1)}^{2}}{2} + 2 (1) - \frac{19}{2}$

Schritt 3.11

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.11.1

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.11.1.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (1) = 2 (1) + \frac{{(1)}^{2} - 19}{2}$

Schritt 3.11.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.11.1.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = 2 (1) + \frac{1 - 19}{2}$

Schritt 3.11.1.2.2

Subtrahiere $19$ von $1$ .

$f (1) = 2 (1) + \frac{- 18}{2}$

Schritt 3.11.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.11.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f (1) = 2 + \frac{- 18}{2}$

Schritt 3.11.2.2

Dividiere $- 18$ durch $2$ .

$f (1) = 2 - 9$

Schritt 3.11.3

Subtrahiere $9$ von $2$ .

$f (1) = - 7$

Schritt 3.11.4

Die endgültige Lösung ist $- 7$ .

$- 7$

Schritt 3.12

Der $y$ -Wert bei $x = 1$ ist $- 7$ .

$y = - 7$

Schritt 3.13

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & - \frac{19}{2} \\ - 3 & - 11 \\ - 2 & - \frac{23}{2} \\ - 1 & - 11 \\ 1 & - 7 \end{array}$

Schritt 4

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

Richtung: Nach oben offen

Scheitelpunkt: $(- 2, - \frac{23}{2})$

Brennpunkt: $(- 2, - 11)$

Symmetrieachse: $x = - 2$

Leitlinie: $y = - 12$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & - \frac{19}{2} \\ - 3 & - 11 \\ - 2 & - \frac{23}{2} \\ - 1 & - 11 \\ 1 & - 7 \end{array}$

Schritt 5