Algebravorstufe Beispiele

$x (x + 6) = 8 x^{2} + 5$

Schritt 1

Vereinfache $x (x + 6)$ .

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Schritt 1.1

Forme um.

$0 + 0 + x (x + 6) = 8 x^{2} + 5$

Schritt 1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$x (x + 6) = 8 x^{2} + 5$

Schritt 1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot 6 = 8 x^{2} + 5$

Schritt 1.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.4.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + x \cdot 6 = 8 x^{2} + 5$

Schritt 1.4.2

Bringe $6$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} + 6 x = 8 x^{2} + 5$

Schritt 2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $8 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 6 x - 8 x^{2} = 5$

Schritt 2.2

Subtrahiere $8 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$- 7 x^{2} + 6 x = 5$

Schritt 3

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 7 x^{2} + 6 x - 5 = 0$

Schritt 4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 5

Setze die Werte $a = - 7$ , $b = 6$ und $c = - 5$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (- 7 \cdot - 5)}}{2 \cdot - 7}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 7 \cdot - 5}}{2 \cdot - 7}$

Schritt 6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 7 \cdot - 5$ .

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Schritt 6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 7$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 28 \cdot - 5}}{2 \cdot - 7}$

Schritt 6.1.2.2

Mutltipliziere $28$ mit $- 5$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 140}}{2 \cdot - 7}$

Schritt 6.1.3

Subtrahiere $140$ von $36$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 104}}{2 \cdot - 7}$

Schritt 6.1.4

Schreibe $- 104$ als $- 1 (104)$ um.

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 104}}{2 \cdot - 7}$

Schritt 6.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (104)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{104}$ um.

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{104}}{2 \cdot - 7}$

Schritt 6.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{104}}{2 \cdot - 7}$

Schritt 6.1.7

Schreibe $104$ als $2^{2} \cdot 26$ um.

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Schritt 6.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $104$ heraus.

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{4 (26)}}{2 \cdot - 7}$

Schritt 6.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 26}}{2 \cdot - 7}$

Schritt 6.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot (2 \sqrt{26})}{2 \cdot - 7}$

Schritt 6.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 6 \pm 2 i \sqrt{26}}{2 \cdot - 7}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 7$ .

$x = \frac{- 6 \pm 2 i \sqrt{26}}{- 14}$

Schritt 6.3

Vereinfache $\frac{- 6 \pm 2 i \sqrt{26}}{- 14}$ .

$x = \frac{3 \pm i \sqrt{26}}{7}$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 7 \cdot - 5}}{2 \cdot - 7}$

Schritt 7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 7 \cdot - 5$ .

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Schritt 7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 7$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 28 \cdot - 5}}{2 \cdot - 7}$

Schritt 7.1.2.2

Mutltipliziere $28$ mit $- 5$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 140}}{2 \cdot - 7}$

Schritt 7.1.3

Subtrahiere $140$ von $36$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 104}}{2 \cdot - 7}$

Schritt 7.1.4

Schreibe $- 104$ als $- 1 (104)$ um.

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 104}}{2 \cdot - 7}$

Schritt 7.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (104)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{104}$ um.

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{104}}{2 \cdot - 7}$

Schritt 7.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{104}}{2 \cdot - 7}$

Schritt 7.1.7

Schreibe $104$ als $2^{2} \cdot 26$ um.

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Schritt 7.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $104$ heraus.

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{4 (26)}}{2 \cdot - 7}$

Schritt 7.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 26}}{2 \cdot - 7}$

Schritt 7.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot (2 \sqrt{26})}{2 \cdot - 7}$

Schritt 7.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 6 \pm 2 i \sqrt{26}}{2 \cdot - 7}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 7$ .

$x = \frac{- 6 \pm 2 i \sqrt{26}}{- 14}$

Schritt 7.3

Vereinfache $\frac{- 6 \pm 2 i \sqrt{26}}{- 14}$ .

$x = \frac{3 \pm i \sqrt{26}}{7}$

Schritt 7.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{3 + i \sqrt{26}}{7}$

Schritt 8

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 7 \cdot - 5}}{2 \cdot - 7}$

Schritt 8.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 7 \cdot - 5$ .

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Schritt 8.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 7$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 28 \cdot - 5}}{2 \cdot - 7}$

Schritt 8.1.2.2

Mutltipliziere $28$ mit $- 5$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 140}}{2 \cdot - 7}$

Schritt 8.1.3

Subtrahiere $140$ von $36$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 104}}{2 \cdot - 7}$

Schritt 8.1.4

Schreibe $- 104$ als $- 1 (104)$ um.

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 104}}{2 \cdot - 7}$

Schritt 8.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (104)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{104}$ um.

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{104}}{2 \cdot - 7}$

Schritt 8.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{104}}{2 \cdot - 7}$

Schritt 8.1.7

Schreibe $104$ als $2^{2} \cdot 26$ um.

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Schritt 8.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $104$ heraus.

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{4 (26)}}{2 \cdot - 7}$

Schritt 8.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 26}}{2 \cdot - 7}$

Schritt 8.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot (2 \sqrt{26})}{2 \cdot - 7}$

Schritt 8.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 6 \pm 2 i \sqrt{26}}{2 \cdot - 7}$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 7$ .

$x = \frac{- 6 \pm 2 i \sqrt{26}}{- 14}$

Schritt 8.3

Vereinfache $\frac{- 6 \pm 2 i \sqrt{26}}{- 14}$ .

$x = \frac{3 \pm i \sqrt{26}}{7}$

Schritt 8.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{3 - i \sqrt{26}}{7}$

Schritt 9

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{3 + i \sqrt{26}}{7}, \frac{3 - i \sqrt{26}}{7}$