Algebravorstufe Beispiele

$x (3 x - 2) = x^{2} + 5$

Schritt 1

Vereinfache $x (3 x - 2)$ .

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Schritt 1.1

Forme um.

$0 + 0 + x (3 x - 2) = x^{2} + 5$

Schritt 1.2

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (3 x) + x \cdot - 2 = x^{2} + 5$

Schritt 1.2.2

Stelle um.

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Schritt 1.2.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3 x \cdot x + x \cdot - 2 = x^{2} + 5$

Schritt 1.2.2.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x$ .

$3 x \cdot x - 2 \cdot x = x^{2} + 5$

Schritt 1.3

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.1

Bewege $x$ .

$3 (x \cdot x) - 2 \cdot x = x^{2} + 5$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$3 x^{2} - 2 \cdot x = x^{2} + 5$

$3 x^{2} - 2 x = x^{2} + 5$

Schritt 2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{2} - 2 x - x^{2} = 5$

Schritt 2.2

Subtrahiere $x^{2}$ von $3 x^{2}$ .

$2 x^{2} - 2 x = 5$

Schritt 3

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} - 2 x - 5 = 0$

Schritt 4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 5

Setze die Werte $a = 2$ , $b = - 2$ und $c = - 5$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 5)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot - 5}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot - 5$ .

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Schritt 6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot - 5}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 5$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 40}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.1.3

Addiere $4$ und $40$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{44}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.1.4

Schreibe $44$ als $2^{2} \cdot 11$ um.

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Schritt 6.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $44$ heraus.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (11)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 11}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{11}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{11}}{4}$

Schritt 6.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 \sqrt{11}}{4}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{11}}{2}$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot - 5}}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot - 5$ .

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Schritt 7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot - 5}}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 5$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 40}}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.1.3

Addiere $4$ und $40$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{44}}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.1.4

Schreibe $44$ als $2^{2} \cdot 11$ um.

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Schritt 7.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $44$ heraus.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (11)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 11}}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{11}}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{11}}{4}$

Schritt 7.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 \sqrt{11}}{4}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{11}}{2}$

Schritt 7.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{1 + \sqrt{11}}{2}$

Schritt 8

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot - 5}}{2 \cdot 2}$

Schritt 8.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot - 5$ .

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Schritt 8.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot - 5}}{2 \cdot 2}$

Schritt 8.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 5$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 40}}{2 \cdot 2}$

Schritt 8.1.3

Addiere $4$ und $40$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{44}}{2 \cdot 2}$

Schritt 8.1.4

Schreibe $44$ als $2^{2} \cdot 11$ um.

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Schritt 8.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $44$ heraus.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (11)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 8.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 11}}{2 \cdot 2}$

Schritt 8.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{11}}{2 \cdot 2}$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{11}}{4}$

Schritt 8.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 \sqrt{11}}{4}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{11}}{2}$

Schritt 8.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{1 - \sqrt{11}}{2}$

Schritt 9

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{1 + \sqrt{11}}{2}, \frac{1 - \sqrt{11}}{2}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{1 + \sqrt{11}}{2}, \frac{1 - \sqrt{11}}{2}$

Dezimalform:

$x = 2.15831239 \dots, - 1.15831239 \dots$