Algebravorstufe Beispiele

Stelle graphisch dar (x^3-10x^2+32x-48)/(x-6)
Schritt 1
Ermittle, wo der Ausdruck nicht definiert ist.
Schritt 2
Die vertikalen Asymptoten treten in Bereichen einer unendlichen Unstetigkeit auf.
Keine vertikalen Asymptoten
Schritt 3
Betrachte die rationale Funktion , wobei der Grad des Zählers und der Grad des Nenners ist.
1. Wenn , dann ist die x-Achse, , die horizontale Asymptote.
2. Wenn , dann ist die horizontale Asymptote die Gerade .
3. Wenn , dann gibt es keine horizontale Asymptote (es gibt eine schiefe Asymptote).
Schritt 4
Ermittle und .
Schritt 5
Da , gibt es keine horizontale Asymptote.
Keine horizontalen Asymptoten
Schritt 6
Ermittle die schiefe Asymptote durch Polynomdivision.
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Schritt 6.1
Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert .
--+-
Schritt 6.2
Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend durch den Term höchster Ordnung im Divisor .
--+-
Schritt 6.3
Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.
--+-
+-
Schritt 6.4
Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in
--+-
-+
Schritt 6.5
Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.
--+-
-+
-
Schritt 6.6
Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.
--+-
-+
-+
Schritt 6.7
Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend durch den Term höchster Ordnung im Divisor .
-
--+-
-+
-+
Schritt 6.8
Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.
-
--+-
-+
-+
-+
Schritt 6.9
Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in
-
--+-
-+
-+
+-
Schritt 6.10
Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.
-
--+-
-+
-+
+-
+
Schritt 6.11
Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.
-
--+-
-+
-+
+-
+-
Schritt 6.12
Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend durch den Term höchster Ordnung im Divisor .
-+
--+-
-+
-+
+-
+-
Schritt 6.13
Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.
-+
--+-
-+
-+
+-
+-
+-
Schritt 6.14
Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in
-+
--+-
-+
-+
+-
+-
-+
Schritt 6.15
Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.
-+
--+-
-+
-+
+-
+-
-+
Schritt 6.16
Da der Rest gleich ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.
Schritt 6.17
Die schiefe Asymptote ist der Polynomteil des Ergebnisses der schriftlichen Division.
Schritt 7
Das ist die Menge aller Asymptoten.
Keine vertikalen Asymptoten
Keine horizontalen Asymptoten
Schiefe Asymptoten:
Schritt 8