Algebravorstufe Beispiele

$\frac{x^{3} - 1}{x^{2} - 9}$

Schritt 1

Ermittle, wo der Ausdruck $\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x + 3) (x - 3)}$ nicht definiert ist.

$x = - 3, x = 3$

Schritt 2

Da $\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x + 3) (x - 3)}$ $\to$ $- \infty$ , wenn $x$ $\to$ $- 3$ von links und $\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x + 3) (x - 3)}$ $\to$ $\infty$ , wenn $x$ $\to$ $- 3$ von rechts, dann ist $x = - 3$ eine vertikale Asymptote.

$x = - 3$

Schritt 3

Da $\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x + 3) (x - 3)}$ $\to$ $- \infty$ , wenn $x$ $\to$ $3$ von links und $\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x + 3) (x - 3)}$ $\to$ $\infty$ , wenn $x$ $\to$ $3$ von rechts, dann ist $x = 3$ eine vertikale Asymptote.

$x = 3$

Schritt 4

Liste alle vertikalen Asymptoten auf:

$x = - 3, 3$

Schritt 5

Betrachte die rationale Funktion $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , wobei $n$ der Grad des Zählers und $m$ der Grad des Nenners ist.

1. Wenn $n < m$ , dann ist die x-Achse, $y = 0$ , die horizontale Asymptote.

2. Wenn $n = m$ , dann ist die horizontale Asymptote die Gerade $y = \frac{a}{b}$ .

3. Wenn $n > m$ , dann gibt es keine horizontale Asymptote (es gibt eine schiefe Asymptote).

Schritt 6

Ermittle $n$ und $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Schritt 7

Da $n > m$ , gibt es keine horizontale Asymptote.

Keine horizontalen Asymptoten

Schritt 8

Ermittle die schiefe Asymptote durch Polynomdivision.

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Schritt 8.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1.1.1

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$\frac{x^{3} - 1^{3}}{x^{2} - 9}$

Schritt 8.1.1.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})}{x^{2} - 9}$

Schritt 8.1.1.3

Vereinfache.

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Schritt 8.1.1.3.1

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})}{x^{2} - 9}$

Schritt 8.1.1.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} - 9}$

Schritt 8.1.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.1.2.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} - 3^{2}}$

Schritt 8.1.2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 8.2

Multipliziere $(x - 1) (x^{2} + x + 1)$ aus.

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Schritt 8.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (x^{2} + x + 1) - 1 (x^{2} + x + 1)}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 8.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (x^{2} + x) + x \cdot 1 - 1 (x^{2} + x + 1)}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 8.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot 1 - 1 (x^{2} + x + 1)}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 8.2.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot 1 - 1 (x^{2} + x) - 1 \cdot 1}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 8.2.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot 1 - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 8.2.6

Stelle $x$ und $1$ um.

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot x + 1 x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 8.2.7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot x + 1 x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 8.2.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x^{1 + 2} + x \cdot x + 1 x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 8.2.9

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{x^{3} + x \cdot x + 1 x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 8.2.10

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{3} + x \cdot x + 1 x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 8.2.11

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{3} + x \cdot x + 1 x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 8.2.12

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x^{3} + x^{1 + 1} + 1 x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 8.2.13

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{x^{3} + x^{2} + 1 x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 8.2.14

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{3} + x^{2} + x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 8.2.15

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x^{3} + x^{2} + x - 1 x^{2} - 1 x - 1}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 8.2.16

Bewege $x$ .

$\frac{x^{3} + x^{2} - 1 x^{2} + x - 1 x - 1}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 8.2.17

Subtrahiere $1 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$\frac{x^{3} + 0 + x - 1 x - 1}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 8.2.18

Addiere $x^{3}$ und $0$ .

$\frac{x^{3} + x - 1 x - 1}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 8.2.19

Subtrahiere $1 x$ von $x$ .

$\frac{x^{3} + 0 - 1}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 8.2.20

Addiere $x^{3}$ und $0$ .

$\frac{x^{3} - 1}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 8.3

Multipliziere $(x + 3) (x - 3)$ aus.

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Schritt 8.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{3} - 1}{x (x - 3) + 3 (x - 3)}$

Schritt 8.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{3} - 1}{x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 (x - 3)}$

Schritt 8.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{3} - 1}{x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3}$

Schritt 8.3.4

Stelle $x$ und $- 3$ um.

$\frac{x^{3} - 1}{x \cdot x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3}$

Schritt 8.3.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{3} - 1}{x \cdot x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3}$

Schritt 8.3.6

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{3} - 1}{x \cdot x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3}$

Schritt 8.3.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x^{3} - 1}{x^{1 + 1} - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3}$

Schritt 8.3.8

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{x^{3} - 1}{x^{2} - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3}$

Schritt 8.3.9

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$\frac{x^{3} - 1}{x^{2} - 3 x + 3 x - 9}$

Schritt 8.3.10

Addiere $- 3 x$ und $3 x$ .

$\frac{x^{3} - 1}{x^{2} + 0 - 9}$

Schritt 8.3.11

Subtrahiere $9$ von $0$ .

$\frac{x^{3} - 1}{x^{2} - 9}$

Schritt 8.4

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$9$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

Schritt 8.5

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$9$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

Schritt 8.6

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$9$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0$

$9 x$

Schritt 8.7

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} + 0 - 9 x$

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$9$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0$

$9 x$

Schritt 8.8

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$9$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0$

$9 x$

Schritt 8.9

Ziehe den nächsten Term vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$9$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0$

$9 x$

$1$

Schritt 8.10

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$x + \frac{9 x - 1}{x^{2} - 9}$

Schritt 8.11

Die schiefe Asymptote ist der Polynomteil des Ergebnisses der schriftlichen Division.

$y = x$

Schritt 9

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Vertikale Asymptoten: $x = - 3, 3$

Keine horizontalen Asymptoten

Schiefe Asymptoten: $y = x$

Schritt 10