Algebravorstufe Beispiele

$(y + 6) = \frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{2}$

Schritt 1

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.1

Vereinfache $\frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{2}$ .

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Schritt 1.1.1

Forme um.

$y + 6 = 0 + 0 + \frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{2}$

Schritt 1.1.2

Schreibe ${(x - 2)}^{2}$ als $(x - 2) (x - 2)$ um.

$y + 6 = \frac{1}{2} \cdot ((x - 2) (x - 2))$

Schritt 1.1.3

Multipliziere $(x - 2) (x - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y + 6 = \frac{1}{2} \cdot (x (x - 2) - 2 (x - 2))$

Schritt 1.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y + 6 = \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2))$

Schritt 1.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y + 6 = \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2)$

Schritt 1.1.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.4.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y + 6 = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2)$

Schritt 1.1.4.1.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x$ .

$y + 6 = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2)$

Schritt 1.1.4.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$y + 6 = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} - 2 x - 2 x + 4)$

Schritt 1.1.4.2

Subtrahiere $2 x$ von $- 2 x$ .

$y + 6 = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} - 4 x + 4)$

Schritt 1.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$y + 6 = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} (- 4 x) + \frac{1}{2} \cdot 4$

Schritt 1.1.6

Vereinfache.

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Schritt 1.1.6.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$y + 6 = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} (- 4 x) + \frac{1}{2} \cdot 4$

Schritt 1.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.1.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4 x$ heraus.

$y + 6 = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} (2 (- 2 x)) + \frac{1}{2} \cdot 4$

Schritt 1.1.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + 6 = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} (2 (- 2 x)) + \frac{1}{2} \cdot 4$

Schritt 1.1.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y + 6 = \frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{1}{2} \cdot 4$

Schritt 1.1.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.1.6.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$y + 6 = \frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{1}{2} \cdot (2 (2))$

Schritt 1.1.6.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + 6 = \frac{x^{2}}{2} - 2 x + \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2)$

Schritt 1.1.6.3.3

Forme den Ausdruck um.

$y + 6 = \frac{x^{2}}{2} - 2 x + 2$

Schritt 1.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = \frac{x^{2}}{2} - 2 x + 2 - 6$

Schritt 1.2.2

Subtrahiere $6$ von $2$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} - 2 x - 4$

Schritt 2

Ermittle die Eigenschaften der gegebenen Parabel.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 2.1.1

Wende die quadratische Ergänzung auf $\frac{x^{2}}{2} - 2 x - 4$ an.

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Schritt 2.1.1.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{2}$

$b = - 2$

$c = - 4$

Schritt 2.1.1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 2.1.1.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 2.1.1.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 2}{2 (\frac{1}{2})}$

Schritt 2.1.1.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 2.1.1.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (\frac{1}{2})}$

Schritt 2.1.1.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.1.3.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (\frac{1}{2})}$

Schritt 2.1.1.3.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 1}{\frac{1}{2}}$

Schritt 2.1.1.3.2.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = - 1 \cdot 2$

Schritt 2.1.1.3.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$d = - 2$

Schritt 2.1.1.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 2.1.1.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = - 4 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 (\frac{1}{2})}$

Schritt 2.1.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.4.2.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$e = - 4 - \frac{4}{4 (\frac{1}{2})}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{2}$ .

$e = - 4 - \frac{4}{\frac{4}{2}}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.3

Dividiere $4$ durch $2$ .

$e = - 4 - \frac{4}{2}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.4

Dividiere $4$ durch $2$ .

$e = - 4 - 1 \cdot 2$

Schritt 2.1.1.4.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$e = - 4 - 2$

Schritt 2.1.1.4.2.2

Subtrahiere $2$ von $- 4$ .

$e = - 6$

Schritt 2.1.1.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $\frac{1}{2} {(x - 2)}^{2} - 6$ ein.

$\frac{1}{2} {(x - 2)}^{2} - 6$

Schritt 2.1.2

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = \frac{1}{2} \cdot {(x - 2)}^{2} - 6$

Schritt 2.2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{2}$

$h = 2$

$k = - 6$

Schritt 2.3

Da der Wert von $a$ positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet.

Öffnet nach Oben

Schritt 2.4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(2, - 6)$

Schritt 2.5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 2.5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 2.5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{2}}$

Schritt 2.5.3

Vereinfache.

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Schritt 2.5.3.1

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{2}}$

Schritt 2.5.3.2

Dividiere $4$ durch $2$ .

$\frac{1}{2}$

Schritt 2.6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 2.6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur y-Koordinate $k$ ermittelt werden, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$(h, k + p)$

Schritt 2.6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(2, - \frac{11}{2})$

Schritt 2.7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$x = 2$

Schritt 2.8

Finde die Leitlinie.

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Schritt 2.8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die horizontale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der y-Koordinate $k$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$y = k - p$

Schritt 2.8.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$y = - \frac{13}{2}$

Schritt 2.9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach oben offen

Scheitelpunkt: $(2, - 6)$

Brennpunkt: $(2, - \frac{11}{2})$

Symmetrieachse: $x = 2$

Leitlinie: $y = - \frac{13}{2}$

Richtung: Nach oben offen

Scheitelpunkt: $(2, - 6)$

Brennpunkt: $(2, - \frac{11}{2})$

Symmetrieachse: $x = 2$

Leitlinie: $y = - \frac{13}{2}$

Schritt 3

Wähle einige $x$ -Werte aus und setze sie in die Gleichung ein, um die entsprechenden $y$ -Werte zu ermitteln. Die $x$ -Werte sollten um den Scheitelpunkt herum gewählt werden.

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{2} - 2 \cdot 0 - 4$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = \frac{0}{2} - 2 \cdot 0 - 4$

Schritt 3.2.1.2

Dividiere $0$ durch $2$ .

$f (0) = 0 - 2 \cdot 0 - 4$

Schritt 3.2.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 4$

Schritt 3.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 3.2.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$f (0) = 0 - 4$

Schritt 3.2.2.2

Subtrahiere $4$ von $0$ .

$f (0) = - 4$

Schritt 3.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 4$ .

$- 4$

Schritt 3.3

Der $y$ -Wert bei $x = 0$ ist $- 4$ .

$y = - 4$

Schritt 3.4

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = \frac{{(1)}^{2}}{2} - 2 \cdot 1 - 4$

Schritt 3.5

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = \frac{1}{2} - 2 \cdot 1 - 4$

Schritt 3.5.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$f (1) = \frac{1}{2} - 2 - 4$

Schritt 3.5.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 3.5.2.1

Schreibe $- 2$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (1) = \frac{1}{2} + \frac{- 2}{1} - 4$

Schritt 3.5.2.2

Mutltipliziere $\frac{- 2}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (1) = \frac{1}{2} + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{2}{2} - 4$

Schritt 3.5.2.3

Mutltipliziere $\frac{- 2}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (1) = \frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} - 4$

Schritt 3.5.2.4

Schreibe $- 4$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (1) = \frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} + \frac{- 4}{1}$

Schritt 3.5.2.5

Mutltipliziere $\frac{- 4}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (1) = \frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} + \frac{- 4}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 3.5.2.6

Mutltipliziere $\frac{- 4}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (1) = \frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} + \frac{- 4 \cdot 2}{2}$

Schritt 3.5.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (1) = \frac{1 - 2 \cdot 2 - 4 \cdot 2}{2}$

Schritt 3.5.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.4.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$f (1) = \frac{1 - 4 - 4 \cdot 2}{2}$

Schritt 3.5.4.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$f (1) = \frac{1 - 4 - 8}{2}$

Schritt 3.5.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.5.5.1

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$f (1) = \frac{- 3 - 8}{2}$

Schritt 3.5.5.2

Subtrahiere $8$ von $- 3$ .

$f (1) = \frac{- 11}{2}$

Schritt 3.5.5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (1) = - \frac{11}{2}$

Schritt 3.5.6

Die endgültige Lösung ist $- \frac{11}{2}$ .

$- \frac{11}{2}$

Schritt 3.6

Der $y$ -Wert bei $x = 1$ ist $- \frac{11}{2}$ .

$y = - \frac{11}{2}$

Schritt 3.7

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$f (4) = \frac{{(4)}^{2}}{2} - 2 \cdot 4 - 4$

Schritt 3.8

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.8.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$f (4) = \frac{16}{2} - 2 \cdot 4 - 4$

Schritt 3.8.1.2

Dividiere $16$ durch $2$ .

$f (4) = 8 - 2 \cdot 4 - 4$

Schritt 3.8.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$f (4) = 8 - 8 - 4$

Schritt 3.8.2

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 3.8.2.1

Subtrahiere $8$ von $8$ .

$f (4) = 0 - 4$

Schritt 3.8.2.2

Subtrahiere $4$ von $0$ .

$f (4) = - 4$

Schritt 3.8.3

Die endgültige Lösung ist $- 4$ .

$- 4$

Schritt 3.9

Der $y$ -Wert bei $x = 4$ ist $- 4$ .

$y = - 4$

Schritt 3.10

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f (3) = \frac{{(3)}^{2}}{2} - 2 \cdot 3 - 4$

Schritt 3.11

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.11.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.11.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f (3) = \frac{9}{2} - 2 \cdot 3 - 4$

Schritt 3.11.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$f (3) = \frac{9}{2} - 6 - 4$

Schritt 3.11.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 3.11.2.1

Schreibe $- 6$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (3) = \frac{9}{2} + \frac{- 6}{1} - 4$

Schritt 3.11.2.2

Mutltipliziere $\frac{- 6}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (3) = \frac{9}{2} + \frac{- 6}{1} \cdot \frac{2}{2} - 4$

Schritt 3.11.2.3

Mutltipliziere $\frac{- 6}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (3) = \frac{9}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2} - 4$

Schritt 3.11.2.4

Schreibe $- 4$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (3) = \frac{9}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2} + \frac{- 4}{1}$

Schritt 3.11.2.5

Mutltipliziere $\frac{- 4}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (3) = \frac{9}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2} + \frac{- 4}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 3.11.2.6

Mutltipliziere $\frac{- 4}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (3) = \frac{9}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2} + \frac{- 4 \cdot 2}{2}$

Schritt 3.11.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (3) = \frac{9 - 6 \cdot 2 - 4 \cdot 2}{2}$

Schritt 3.11.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.11.4.1

Mutltipliziere $- 6$ mit $2$ .

$f (3) = \frac{9 - 12 - 4 \cdot 2}{2}$

Schritt 3.11.4.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$f (3) = \frac{9 - 12 - 8}{2}$

Schritt 3.11.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.11.5.1

Subtrahiere $12$ von $9$ .

$f (3) = \frac{- 3 - 8}{2}$

Schritt 3.11.5.2

Subtrahiere $8$ von $- 3$ .

$f (3) = \frac{- 11}{2}$

Schritt 3.11.5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (3) = - \frac{11}{2}$

Schritt 3.11.6

Die endgültige Lösung ist $- \frac{11}{2}$ .

$- \frac{11}{2}$

Schritt 3.12

Der $y$ -Wert bei $x = 3$ ist $- \frac{11}{2}$ .

$y = - \frac{11}{2}$

Schritt 3.13

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & - 4 \\ 1 & - \frac{11}{2} \\ 2 & - 6 \\ 3 & - \frac{11}{2} \\ 4 & - 4 \end{array}$

Schritt 4

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

Richtung: Nach oben offen

Scheitelpunkt: $(2, - 6)$

Brennpunkt: $(2, - \frac{11}{2})$

Symmetrieachse: $x = 2$

Leitlinie: $y = - \frac{13}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & - 4 \\ 1 & - \frac{11}{2} \\ 2 & - 6 \\ 3 & - \frac{11}{2} \\ 4 & - 4 \end{array}$

Schritt 5