Algebravorstufe Beispiele

$\frac{x - 2}{5} + \frac{{(y - 5)}^{2}}{5} = 1$

Schritt 1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x - 2 + {(y - 5)}^{2}}{5} = 1$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $5$ .

$5 \frac{x - 2 + {(y - 5)}^{2}}{5} = 5 \cdot 1$

Schritt 3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 \frac{x - 2 + {(y - 5)}^{2}}{5} = 5 \cdot 1$

Schritt 3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x - 2 + {(y - 5)}^{2} = 5 \cdot 1$

Schritt 3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.1

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$x - 2 + {(y - 5)}^{2} = 5$

Schritt 4

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x + {(y - 5)}^{2} = 5 + 2$

Schritt 4.2

Subtrahiere ${(y - 5)}^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5 + 2 - {(y - 5)}^{2}$

Schritt 4.3

Addiere $5$ und $2$ .

$x = 7 - {(y - 5)}^{2}$

Schritt 5

Ermittle die Eigenschaften der gegebenen Parabel.

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Schritt 5.1

Stelle $7$ und $- {(y - 5)}^{2}$ um.

$x = - {(y - 5)}^{2} + 7$

Schritt 5.2

Benutze die Scheitelpunktform, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = - 1$

$h = 7$

$k = 5$

Schritt 5.3

Da der Wert von $a$ negativ ist, ist die Parabel nach links offen.

Nach links offen

Schritt 5.4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(7, 5)$

Schritt 5.5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 5.5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 5.5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

Schritt 5.5.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 5.5.3.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

Schritt 5.5.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{4}$

Schritt 5.6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 5.6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur x-Koordinate $h$ gefunden werden, wenn die Parabel nach links oder rechts geöffnet ist.

$(h + p, k)$

Schritt 5.6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(\frac{27}{4}, 5)$

Schritt 5.7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$y = 5$

Schritt 5.8

Finde die Leitlinie.

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Schritt 5.8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die vertikale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der x-Koordinate $h$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach links oder rechts geöffnet ist.

$x = h - p$

Schritt 5.8.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $h$ in die Formel ein und vereinfache.

$x = \frac{29}{4}$

Schritt 5.9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach links offen

Scheitelpunkt: $(7, 5)$

Brennpunkt: $(\frac{27}{4}, 5)$

Symmetrieachse: $y = 5$

Leitlinie: $x = \frac{29}{4}$

Richtung: Nach links offen

Scheitelpunkt: $(7, 5)$

Brennpunkt: $(\frac{27}{4}, 5)$

Symmetrieachse: $y = 5$

Leitlinie: $x = \frac{29}{4}$

Schritt 6

Wähle einige $x$ -Werte aus und setze sie in die Gleichung ein, um die entsprechenden $y$ -Werte zu ermitteln. Die $x$ -Werte sollten um den Scheitelpunkt herum gewählt werden.

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Schritt 6.1

Setze den $x$ -Wert $5$ in $f (x) = \sqrt{- x + 7} + 5$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(5, 6.41421356)$ .

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Schritt 6.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $5$ .

$f (5) = \sqrt{- (5) + 7} + 5$

Schritt 6.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$f (5) = \sqrt{- 5 + 7} + 5$

Schritt 6.1.2.1.2

Addiere $- 5$ und $7$ .

$f (5) = \sqrt{2} + 5$

Schritt 6.1.2.2

Die endgültige Lösung ist $\sqrt{2} + 5$ .

$y = \sqrt{2} + 5$

Schritt 6.1.3

Konvertiere $\sqrt{2} + 5$ nach Dezimal.

$= 6.41421356$

Schritt 6.2

Setze den $x$ -Wert $5$ in $f (x) = - \sqrt{- x + 7} + 5$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(5, 3.58578643)$ .

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Schritt 6.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $5$ .

$f (5) = - \sqrt{- (5) + 7} + 5$

Schritt 6.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$f (5) = - \sqrt{- 5 + 7} + 5$

Schritt 6.2.2.1.2

Addiere $- 5$ und $7$ .

$f (5) = - \sqrt{2} + 5$

Schritt 6.2.2.2

Die endgültige Lösung ist $- \sqrt{2} + 5$ .

$y = - \sqrt{2} + 5$

Schritt 6.2.3

Konvertiere $- \sqrt{2} + 5$ nach Dezimal.

$= 3.58578643$

Schritt 6.3

Setze den $x$ -Wert $6$ in $f (x) = \sqrt{- x + 7} + 5$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(6, 6)$ .

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Schritt 6.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $6$ .

$f (6) = \sqrt{- (6) + 7} + 5$

Schritt 6.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$f (6) = \sqrt{- 6 + 7} + 5$

Schritt 6.3.2.1.2

Addiere $- 6$ und $7$ .

$f (6) = \sqrt{1} + 5$

Schritt 6.3.2.1.3

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$f (6) = 1 + 5$

Schritt 6.3.2.2

Addiere $1$ und $5$ .

$f (6) = 6$

Schritt 6.3.2.3

Die endgültige Lösung ist $6$ .

$y = 6$

Schritt 6.3.3

Konvertiere $6$ nach Dezimal.

$= 6$

Schritt 6.4

Setze den $x$ -Wert $6$ in $f (x) = - \sqrt{- x + 7} + 5$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(6, 4)$ .

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Schritt 6.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $6$ .

$f (6) = - \sqrt{- (6) + 7} + 5$

Schritt 6.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.4.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$f (6) = - \sqrt{- 6 + 7} + 5$

Schritt 6.4.2.1.2

Addiere $- 6$ und $7$ .

$f (6) = - \sqrt{1} + 5$

Schritt 6.4.2.1.3

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$f (6) = - 1 \cdot 1 + 5$

Schritt 6.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (6) = - 1 + 5$

Schritt 6.4.2.2

Addiere $- 1$ und $5$ .

$f (6) = 4$

Schritt 6.4.2.3

Die endgültige Lösung ist $4$ .

$y = 4$

Schritt 6.4.3

Konvertiere $4$ nach Dezimal.

$= 4$

Schritt 6.5

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

$\begin{array}{c} x & y \\ 5 & 6.41 \\ 5 & 3.59 \\ 6 & 6 \\ 6 & 4 \\ 7 & 5 \end{array}$

Schritt 7

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

Richtung: Nach links offen

Scheitelpunkt: $(7, 5)$

Brennpunkt: $(\frac{27}{4}, 5)$

Symmetrieachse: $y = 5$

Leitlinie: $x = \frac{29}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 5 & 6.41 \\ 5 & 3.59 \\ 6 & 6 \\ 6 & 4 \\ 7 & 5 \end{array}$

Schritt 8