Algebravorstufe Beispiele

$8 x^{2} + 2 x = 3$

Schritt 1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$8 x^{2} + 2 x - 3 = 0$

Schritt 2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 8 \cdot - 3 = - 24$ und deren Summe gleich $b = 2$ ist.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$8 x^{2} + 2 (x) - 3 = 0$

Schritt 2.1.2

Schreibe $2$ um als $- 4$ plus $6$

$8 x^{2} + (- 4 + 6) x - 3 = 0$

Schritt 2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$8 x^{2} - 4 x + 6 x - 3 = 0$

Schritt 2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(8 x^{2} - 4 x) + 6 x - 3 = 0$

Schritt 2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$4 x (2 x - 1) + 3 (2 x - 1) = 0$

Schritt 2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x - 1$ .

$(2 x - 1) (4 x + 3) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$4 x + 3 = 0$

Schritt 4

Setze $2 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $2 x - 1$ gleich $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Schritt 4.2

Löse $2 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 1$

Schritt 4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 5

Setze $4 x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $4 x + 3$ gleich $0$ .

$4 x + 3 = 0$

Schritt 5.2

Löse $4 x + 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = - 3$

Schritt 5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = - 3$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = - 3$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 3}{4}$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 3}{4}$

Schritt 5.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 3}{4}$

Schritt 5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{3}{4}$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 x - 1) (4 x + 3) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{1}{2}, - \frac{3}{4}$