Algebravorstufe Beispiele

$9 x^{2} - 1 - 10 x = 15 x^{2}$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $15 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$9 x^{2} - 1 - 10 x - 15 x^{2} = 0$

Schritt 1.2

Subtrahiere $15 x^{2}$ von $9 x^{2}$ .

$- 6 x^{2} - 1 - 10 x = 0$

Schritt 2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3

Setze die Werte $a = - 6$ , $b = - 10$ und $c = - 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (- 6 \cdot - 1)}}{2 \cdot - 6}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Potenziere $- 10$ mit $2$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot - 6 \cdot - 1}}{2 \cdot - 6}$

Schritt 4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 6 \cdot - 1$ .

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 6$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 24 \cdot - 1}}{2 \cdot - 6}$

Schritt 4.1.2.2

Mutltipliziere $24$ mit $- 1$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 24}}{2 \cdot - 6}$

Schritt 4.1.3

Subtrahiere $24$ von $100$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{76}}{2 \cdot - 6}$

Schritt 4.1.4

Schreibe $76$ als $2^{2} \cdot 19$ um.

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Schritt 4.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $76$ heraus.

$x = \frac{10 \pm \sqrt{4 (19)}}{2 \cdot - 6}$

Schritt 4.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 19}}{2 \cdot - 6}$

Schritt 4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{10 \pm 2 \sqrt{19}}{2 \cdot - 6}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 6$ .

$x = \frac{10 \pm 2 \sqrt{19}}{- 12}$

Schritt 4.3

Vereinfache $\frac{10 \pm 2 \sqrt{19}}{- 12}$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{19}}{- 6}$

Schritt 4.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{5 \pm \sqrt{19}}{6}$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Potenziere $- 10$ mit $2$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot - 6 \cdot - 1}}{2 \cdot - 6}$

Schritt 5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 6 \cdot - 1$ .

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Schritt 5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 6$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 24 \cdot - 1}}{2 \cdot - 6}$

Schritt 5.1.2.2

Mutltipliziere $24$ mit $- 1$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 24}}{2 \cdot - 6}$

Schritt 5.1.3

Subtrahiere $24$ von $100$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{76}}{2 \cdot - 6}$

Schritt 5.1.4

Schreibe $76$ als $2^{2} \cdot 19$ um.

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Schritt 5.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $76$ heraus.

$x = \frac{10 \pm \sqrt{4 (19)}}{2 \cdot - 6}$

Schritt 5.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 19}}{2 \cdot - 6}$

Schritt 5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{10 \pm 2 \sqrt{19}}{2 \cdot - 6}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 6$ .

$x = \frac{10 \pm 2 \sqrt{19}}{- 12}$

Schritt 5.3

Vereinfache $\frac{10 \pm 2 \sqrt{19}}{- 12}$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{19}}{- 6}$

Schritt 5.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{5 \pm \sqrt{19}}{6}$

Schritt 5.5

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = - \frac{5 + \sqrt{19}}{6}$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Potenziere $- 10$ mit $2$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot - 6 \cdot - 1}}{2 \cdot - 6}$

Schritt 6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 6 \cdot - 1$ .

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Schritt 6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 6$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 24 \cdot - 1}}{2 \cdot - 6}$

Schritt 6.1.2.2

Mutltipliziere $24$ mit $- 1$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 24}}{2 \cdot - 6}$

Schritt 6.1.3

Subtrahiere $24$ von $100$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{76}}{2 \cdot - 6}$

Schritt 6.1.4

Schreibe $76$ als $2^{2} \cdot 19$ um.

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Schritt 6.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $76$ heraus.

$x = \frac{10 \pm \sqrt{4 (19)}}{2 \cdot - 6}$

Schritt 6.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 19}}{2 \cdot - 6}$

Schritt 6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{10 \pm 2 \sqrt{19}}{2 \cdot - 6}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 6$ .

$x = \frac{10 \pm 2 \sqrt{19}}{- 12}$

Schritt 6.3

Vereinfache $\frac{10 \pm 2 \sqrt{19}}{- 12}$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{19}}{- 6}$

Schritt 6.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{5 \pm \sqrt{19}}{6}$

Schritt 6.5

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = - \frac{5 - \sqrt{19}}{6}$

Schritt 7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{5 + \sqrt{19}}{6}, - \frac{5 - \sqrt{19}}{6}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \frac{5 + \sqrt{19}}{6}, - \frac{5 - \sqrt{19}}{6}$

Dezimalform:

$x = - 1.55981649 \dots, - 0.10685017 \dots$