Algebravorstufe Beispiele

$800000 = - 4 x^{2} + 400 x$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $- 4 x^{2} + 400 x = 800000$ um.

$- 4 x^{2} + 400 x = 800000$

Schritt 2

Subtrahiere $800000$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 x^{2} + 400 x - 800000 = 0$

Schritt 3

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 x^{2} + 400 x - 800000$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 x^{2}$ heraus.

$- 4 x^{2} + 400 x - 800000 = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere $- 4$ aus $400 x$ heraus.

$- 4 x^{2} - 4 (- 100 x) - 800000 = 0$

Schritt 3.3

Faktorisiere $- 4$ aus $- 800000$ heraus.

$- 4 x^{2} - 4 (- 100 x) - 4 \cdot 200000 = 0$

Schritt 3.4

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 (x^{2}) - 4 (- 100 x)$ heraus.

$- 4 (x^{2} - 100 x) - 4 \cdot 200000 = 0$

Schritt 3.5

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 (x^{2} - 100 x) - 4 (200000)$ heraus.

$- 4 (x^{2} - 100 x + 200000) = 0$

Schritt 4

Teile jeden Ausdruck in $- 4 (x^{2} - 100 x + 200000) = 0$ durch $- 4$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in $- 4 (x^{2} - 100 x + 200000) = 0$ durch $- 4$ .

$\frac{- 4 (x^{2} - 100 x + 200000)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 (x^{2} - 100 x + 200000)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $x^{2} - 100 x + 200000$ durch $1$ .

$x^{2} - 100 x + 200000 = \frac{0}{- 4}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Dividiere $0$ durch $- 4$ .

$x^{2} - 100 x + 200000 = 0$

Schritt 5

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 6

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 100$ und $c = 200000$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{100 \pm \sqrt{{(- 100)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 200000)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.1

Potenziere $- 100$ mit $2$ .

$x = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 4 \cdot 1 \cdot 200000}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 200000$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 4 \cdot 200000}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $200000$ .

$x = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 800000}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.3

Subtrahiere $800000$ von $10000$ .

$x = \frac{100 \pm \sqrt{- 790000}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.4

Schreibe $- 790000$ als $- 1 (790000)$ um.

$x = \frac{100 \pm \sqrt{- 1 \cdot 790000}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (790000)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{790000}$ um.

$x = \frac{100 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{790000}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{100 \pm i \cdot \sqrt{790000}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.7

Schreibe $790000$ als $100^{2} \cdot 79$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.7.1

Faktorisiere $10000$ aus $790000$ heraus.

$x = \frac{100 \pm i \cdot \sqrt{10000 (79)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.7.2

Schreibe $10000$ als $100^{2}$ um.

$x = \frac{100 \pm i \cdot \sqrt{100^{2} \cdot 79}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{100 \pm i \cdot (100 \sqrt{79})}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.9

Bringe $100$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{100 \pm 100 i \sqrt{79}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{100 \pm 100 i \sqrt{79}}{2}$

Schritt 7.3

Vereinfache $\frac{100 \pm 100 i \sqrt{79}}{2}$ .

$x = 50 \pm 50 i \sqrt{79}$

Schritt 8

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1.1

Potenziere $- 100$ mit $2$ .

$x = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 4 \cdot 1 \cdot 200000}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 200000$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 4 \cdot 200000}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $200000$ .

$x = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 800000}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.3

Subtrahiere $800000$ von $10000$ .

$x = \frac{100 \pm \sqrt{- 790000}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.4

Schreibe $- 790000$ als $- 1 (790000)$ um.

$x = \frac{100 \pm \sqrt{- 1 \cdot 790000}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (790000)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{790000}$ um.

$x = \frac{100 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{790000}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{100 \pm i \cdot \sqrt{790000}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.7

Schreibe $790000$ als $100^{2} \cdot 79$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1.7.1

Faktorisiere $10000$ aus $790000$ heraus.

$x = \frac{100 \pm i \cdot \sqrt{10000 (79)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.7.2

Schreibe $10000$ als $100^{2}$ um.

$x = \frac{100 \pm i \cdot \sqrt{100^{2} \cdot 79}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{100 \pm i \cdot (100 \sqrt{79})}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.9

Bringe $100$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{100 \pm 100 i \sqrt{79}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{100 \pm 100 i \sqrt{79}}{2}$

Schritt 8.3

Vereinfache $\frac{100 \pm 100 i \sqrt{79}}{2}$ .

$x = 50 \pm 50 i \sqrt{79}$

Schritt 8.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = 50 + 50 i \sqrt{79}$

Schritt 9

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1.1

Potenziere $- 100$ mit $2$ .

$x = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 4 \cdot 1 \cdot 200000}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 200000$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 4 \cdot 200000}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $200000$ .

$x = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 800000}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.1.3

Subtrahiere $800000$ von $10000$ .

$x = \frac{100 \pm \sqrt{- 790000}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.1.4

Schreibe $- 790000$ als $- 1 (790000)$ um.

$x = \frac{100 \pm \sqrt{- 1 \cdot 790000}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (790000)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{790000}$ um.

$x = \frac{100 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{790000}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{100 \pm i \cdot \sqrt{790000}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.1.7

Schreibe $790000$ als $100^{2} \cdot 79$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1.7.1

Faktorisiere $10000$ aus $790000$ heraus.

$x = \frac{100 \pm i \cdot \sqrt{10000 (79)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.1.7.2

Schreibe $10000$ als $100^{2}$ um.

$x = \frac{100 \pm i \cdot \sqrt{100^{2} \cdot 79}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{100 \pm i \cdot (100 \sqrt{79})}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.1.9

Bringe $100$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{100 \pm 100 i \sqrt{79}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{100 \pm 100 i \sqrt{79}}{2}$

Schritt 9.3

Vereinfache $\frac{100 \pm 100 i \sqrt{79}}{2}$ .

$x = 50 \pm 50 i \sqrt{79}$

Schritt 9.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = 50 - 50 i \sqrt{79}$

Schritt 10

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 50 + 50 i \sqrt{79}, 50 - 50 i \sqrt{79}$