Algebravorstufe Beispiele

$80 = 100 \cdot ((4 + \frac{x}{2}) x)$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $100 \cdot ((4 + \frac{x}{2}) x) = 80$ um.

$100 \cdot ((4 + \frac{x}{2}) x) = 80$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $100 \cdot ((4 + \frac{x}{2}) x) = 80$ durch $100$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $100 \cdot ((4 + \frac{x}{2}) x) = 80$ durch $100$ .

$\frac{100 \cdot ((4 + \frac{x}{2}) x)}{100} = \frac{80}{100}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $100$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{100 \cdot ((4 + \frac{x}{2}) x)}{100} = \frac{80}{100}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $(4 + \frac{x}{2}) x$ durch $1$ .

$(4 + \frac{x}{2}) x = \frac{80}{100}$

Schritt 2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x + \frac{x}{2} x = \frac{80}{100}$

Schritt 2.2.3

Multipliziere $\frac{x}{2} x$ .

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Schritt 2.2.3.1

Kombiniere $\frac{x}{2}$ und $x$ .

$4 x + \frac{x \cdot x}{2} = \frac{80}{100}$

Schritt 2.2.3.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$4 x + \frac{x^{1} x}{2} = \frac{80}{100}$

Schritt 2.2.3.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$4 x + \frac{x^{1} x^{1}}{2} = \frac{80}{100}$

Schritt 2.2.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 x + \frac{x^{1 + 1}}{2} = \frac{80}{100}$

Schritt 2.2.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$4 x + \frac{x^{2}}{2} = \frac{80}{100}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $80$ und $100$ .

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Schritt 2.3.1.1

Faktorisiere $20$ aus $80$ heraus.

$4 x + \frac{x^{2}}{2} = \frac{20 (4)}{100}$

Schritt 2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.1.2.1

Faktorisiere $20$ aus $100$ heraus.

$4 x + \frac{x^{2}}{2} = \frac{20 \cdot 4}{20 \cdot 5}$

Schritt 2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 x + \frac{x^{2}}{2} = \frac{20 \cdot 4}{20 \cdot 5}$

Schritt 2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$4 x + \frac{x^{2}}{2} = \frac{4}{5}$

Schritt 3

Subtrahiere $\frac{4}{5}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x + \frac{x^{2}}{2} - \frac{4}{5} = 0$

Schritt 4

Multipliziere mit dem Hauptnenner $10$ aus und vereinfache dann.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$10 (4 x) + 10 (\frac{x^{2}}{2}) + 10 (- \frac{4}{5}) = 0$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $10$ .

$40 x + 10 (\frac{x^{2}}{2}) + 10 (- \frac{4}{5}) = 0$

Schritt 4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$40 x + 2 (5) (\frac{x^{2}}{2}) + 10 (- \frac{4}{5}) = 0$

Schritt 4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$40 x + 2 \cdot (5 (\frac{x^{2}}{2})) + 10 (- \frac{4}{5}) = 0$

Schritt 4.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$40 x + 5 x^{2} + 10 (- \frac{4}{5}) = 0$

Schritt 4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 4.2.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{4}{5}$ in den Zähler.

$40 x + 5 x^{2} + 10 (\frac{- 4}{5}) = 0$

Schritt 4.2.3.2

Faktorisiere $5$ aus $10$ heraus.

$40 x + 5 x^{2} + 5 (2) (\frac{- 4}{5}) = 0$

Schritt 4.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$40 x + 5 x^{2} + 5 \cdot (2 (\frac{- 4}{5})) = 0$

Schritt 4.2.3.4

Forme den Ausdruck um.

$40 x + 5 x^{2} + 2 \cdot - 4 = 0$

Schritt 4.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$40 x + 5 x^{2} - 8 = 0$

Schritt 4.3

Stelle $40 x$ und $5 x^{2}$ um.

$5 x^{2} + 40 x - 8 = 0$

Schritt 5

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 6

Setze die Werte $a = 5$ , $b = 40$ und $c = - 8$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 40 \pm \sqrt{40^{2} - 4 \cdot (5 \cdot - 8)}}{2 \cdot 5}$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Potenziere $40$ mit $2$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 - 4 \cdot 5 \cdot - 8}}{2 \cdot 5}$

Schritt 7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 5 \cdot - 8$ .

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Schritt 7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $5$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 - 20 \cdot - 8}}{2 \cdot 5}$

Schritt 7.1.2.2

Mutltipliziere $- 20$ mit $- 8$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 + 160}}{2 \cdot 5}$

Schritt 7.1.3

Addiere $1600$ und $160$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1760}}{2 \cdot 5}$

Schritt 7.1.4

Schreibe $1760$ als $4^{2} \cdot 110$ um.

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Schritt 7.1.4.1

Faktorisiere $16$ aus $1760$ heraus.

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{16 (110)}}{2 \cdot 5}$

Schritt 7.1.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 110}}{2 \cdot 5}$

Schritt 7.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 40 \pm 4 \sqrt{110}}{2 \cdot 5}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$x = \frac{- 40 \pm 4 \sqrt{110}}{10}$

Schritt 7.3

Vereinfache $\frac{- 40 \pm 4 \sqrt{110}}{10}$ .

$x = \frac{- 20 \pm 2 \sqrt{110}}{5}$

Schritt 8

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1.1

Potenziere $40$ mit $2$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 - 4 \cdot 5 \cdot - 8}}{2 \cdot 5}$

Schritt 8.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 5 \cdot - 8$ .

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Schritt 8.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $5$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 - 20 \cdot - 8}}{2 \cdot 5}$

Schritt 8.1.2.2

Mutltipliziere $- 20$ mit $- 8$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 + 160}}{2 \cdot 5}$

Schritt 8.1.3

Addiere $1600$ und $160$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1760}}{2 \cdot 5}$

Schritt 8.1.4

Schreibe $1760$ als $4^{2} \cdot 110$ um.

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Schritt 8.1.4.1

Faktorisiere $16$ aus $1760$ heraus.

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{16 (110)}}{2 \cdot 5}$

Schritt 8.1.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 110}}{2 \cdot 5}$

Schritt 8.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 40 \pm 4 \sqrt{110}}{2 \cdot 5}$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$x = \frac{- 40 \pm 4 \sqrt{110}}{10}$

Schritt 8.3

Vereinfache $\frac{- 40 \pm 4 \sqrt{110}}{10}$ .

$x = \frac{- 20 \pm 2 \sqrt{110}}{5}$

Schritt 8.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{- 20 + 2 \sqrt{110}}{5}$

Schritt 8.5

Schreibe $- 20$ als $- 1 (20)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 20 + 2 \sqrt{110}}{5}$

Schritt 8.6

Faktorisiere $- 1$ aus $2 \sqrt{110}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 20 - (- 2 \sqrt{110})}{5}$

Schritt 8.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (20) - (- 2 \sqrt{110})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (20 - 2 \sqrt{110})}{5}$

Schritt 8.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{20 - 2 \sqrt{110}}{5}$

Schritt 9

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1.1

Potenziere $40$ mit $2$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 - 4 \cdot 5 \cdot - 8}}{2 \cdot 5}$

Schritt 9.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 5 \cdot - 8$ .

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Schritt 9.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $5$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 - 20 \cdot - 8}}{2 \cdot 5}$

Schritt 9.1.2.2

Mutltipliziere $- 20$ mit $- 8$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 + 160}}{2 \cdot 5}$

Schritt 9.1.3

Addiere $1600$ und $160$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1760}}{2 \cdot 5}$

Schritt 9.1.4

Schreibe $1760$ als $4^{2} \cdot 110$ um.

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Schritt 9.1.4.1

Faktorisiere $16$ aus $1760$ heraus.

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{16 (110)}}{2 \cdot 5}$

Schritt 9.1.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 110}}{2 \cdot 5}$

Schritt 9.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 40 \pm 4 \sqrt{110}}{2 \cdot 5}$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$x = \frac{- 40 \pm 4 \sqrt{110}}{10}$

Schritt 9.3

Vereinfache $\frac{- 40 \pm 4 \sqrt{110}}{10}$ .

$x = \frac{- 20 \pm 2 \sqrt{110}}{5}$

Schritt 9.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{- 20 - 2 \sqrt{110}}{5}$

Schritt 9.5

Schreibe $- 20$ als $- 1 (20)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 20 - 2 \sqrt{110}}{5}$

Schritt 9.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 \sqrt{110}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 20 - (2 \sqrt{110})}{5}$

Schritt 9.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (20) - (2 \sqrt{110})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (20 + 2 \sqrt{110})}{5}$

Schritt 9.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{20 + 2 \sqrt{110}}{5}$

Schritt 10

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{20 - 2 \sqrt{110}}{5}, - \frac{20 + 2 \sqrt{110}}{5}$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \frac{20 - 2 \sqrt{110}}{5}, - \frac{20 + 2 \sqrt{110}}{5}$

Dezimalform:

$x = 0.19523539 \dots, - 8.19523539 \dots$