Algebravorstufe Beispiele

$8 x^{2} - 12 x - 56 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $4$ aus $8 x^{2} - 12 x - 56$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $8 x^{2}$ heraus.

$4 (2 x^{2}) - 12 x - 56 = 0$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $4$ aus $- 12 x$ heraus.

$4 (2 x^{2}) + 4 (- 3 x) - 56 = 0$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $4$ aus $- 56$ heraus.

$4 (2 x^{2}) + 4 (- 3 x) + 4 (- 14) = 0$

Schritt 1.1.4

Faktorisiere $4$ aus $4 (2 x^{2}) + 4 (- 3 x)$ heraus.

$4 (2 x^{2} - 3 x) + 4 (- 14) = 0$

Schritt 1.1.5

Faktorisiere $4$ aus $4 (2 x^{2} - 3 x) + 4 (- 14)$ heraus.

$4 (2 x^{2} - 3 x - 14) = 0$

Schritt 1.2

Faktorisiere.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 14 = - 28$ und deren Summe gleich $b = - 3$ ist.

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Schritt 1.2.1.1.1

Faktorisiere $- 3$ aus $- 3 x$ heraus.

$4 (2 x^{2} - 3 x - 14) = 0$

Schritt 1.2.1.1.2

Schreibe $- 3$ um als $4$ plus $- 7$

$4 (2 x^{2} + (4 - 7) x - 14) = 0$

Schritt 1.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 (2 x^{2} + 4 x - 7 x - 14) = 0$

Schritt 1.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$4 ((2 x^{2} + 4 x) - 7 x - 14) = 0$

Schritt 1.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$4 (2 x (x + 2) - 7 (x + 2)) = 0$

Schritt 1.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x + 2$ .

$4 ((x + 2) (2 x - 7)) = 0$

Schritt 1.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$4 (x + 2) (2 x - 7) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

$2 x - 7 = 0$

Schritt 3

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 3.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 4

Setze $2 x - 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $2 x - 7$ gleich $0$ .

$2 x - 7 = 0$

Schritt 4.2

Löse $2 x - 7 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 7$

Schritt 4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 7$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 7$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{7}{2}$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{7}{2}$

Schritt 4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{7}{2}$

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $4 (x + 2) (2 x - 7) = 0$ wahr machen.

$x = - 2, \frac{7}{2}$