Algebravorstufe Beispiele

$8 x + 12 = 3 x^{2} + 6 x$

Schritt 1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$3 x^{2} + 6 x = 8 x + 12$

Schritt 2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $8 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{2} + 6 x - 8 x = 12$

Schritt 2.2

Subtrahiere $8 x$ von $6 x$ .

$3 x^{2} - 2 x = 12$

Schritt 3

Subtrahiere $12$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{2} - 2 x - 12 = 0$

Schritt 4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 5

Setze die Werte $a = 3$ , $b = - 2$ und $c = - 12$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 12)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot - 12}}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot - 12$ .

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Schritt 6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot - 12}}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 12$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 144}}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.1.3

Addiere $4$ und $144$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{148}}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.1.4

Schreibe $148$ als $2^{2} \cdot 37$ um.

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Schritt 6.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $148$ heraus.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (37)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 37}}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{37}}{2 \cdot 3}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{37}}{6}$

Schritt 6.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 \sqrt{37}}{6}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{37}}{3}$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot - 12}}{2 \cdot 3}$

Schritt 7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot - 12$ .

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Schritt 7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot - 12}}{2 \cdot 3}$

Schritt 7.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 12$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 144}}{2 \cdot 3}$

Schritt 7.1.3

Addiere $4$ und $144$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{148}}{2 \cdot 3}$

Schritt 7.1.4

Schreibe $148$ als $2^{2} \cdot 37$ um.

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Schritt 7.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $148$ heraus.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (37)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 7.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 37}}{2 \cdot 3}$

Schritt 7.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{37}}{2 \cdot 3}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{37}}{6}$

Schritt 7.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 \sqrt{37}}{6}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{37}}{3}$

Schritt 7.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{1 + \sqrt{37}}{3}$

Schritt 8

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot - 12}}{2 \cdot 3}$

Schritt 8.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot - 12$ .

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Schritt 8.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot - 12}}{2 \cdot 3}$

Schritt 8.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 12$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 144}}{2 \cdot 3}$

Schritt 8.1.3

Addiere $4$ und $144$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{148}}{2 \cdot 3}$

Schritt 8.1.4

Schreibe $148$ als $2^{2} \cdot 37$ um.

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Schritt 8.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $148$ heraus.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (37)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 8.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 37}}{2 \cdot 3}$

Schritt 8.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{37}}{2 \cdot 3}$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{37}}{6}$

Schritt 8.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 \sqrt{37}}{6}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{37}}{3}$

Schritt 8.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{1 - \sqrt{37}}{3}$

Schritt 9

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{1 + \sqrt{37}}{3}, \frac{1 - \sqrt{37}}{3}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{1 + \sqrt{37}}{3}, \frac{1 - \sqrt{37}}{3}$

Dezimalform:

$x = 2.36092084 \dots, - 1.69425417 \dots$