Algebravorstufe Beispiele

$96 = (x + 1) (3 x + 1)$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $(x + 1) (3 x + 1) = 96$ um.

$(x + 1) (3 x + 1) = 96$

Schritt 2

Vereinfache $(x + 1) (3 x + 1)$ .

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Schritt 2.1

Multipliziere $(x + 1) (3 x + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (3 x + 1) + 1 (3 x + 1) = 96$

Schritt 2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x (3 x) + x \cdot 1 + 1 (3 x + 1) = 96$

Schritt 2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x (3 x) + x \cdot 1 + 1 (3 x) + 1 \cdot 1 = 96$

Schritt 2.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3 x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (3 x) + 1 \cdot 1 = 96$

Schritt 2.2.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.1.2.1

Bewege $x$ .

$3 (x \cdot x) + x \cdot 1 + 1 (3 x) + 1 \cdot 1 = 96$

Schritt 2.2.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$3 x^{2} + x \cdot 1 + 1 (3 x) + 1 \cdot 1 = 96$

Schritt 2.2.1.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$3 x^{2} + x + 1 (3 x) + 1 \cdot 1 = 96$

Schritt 2.2.1.4

Mutltipliziere $3 x$ mit $1$ .

$3 x^{2} + x + 3 x + 1 \cdot 1 = 96$

Schritt 2.2.1.5

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$3 x^{2} + x + 3 x + 1 = 96$

Schritt 2.2.2

Addiere $x$ und $3 x$ .

$3 x^{2} + 4 x + 1 = 96$

Schritt 3

Subtrahiere $96$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{2} + 4 x + 1 - 96 = 0$

Schritt 4

Subtrahiere $96$ von $1$ .

$3 x^{2} + 4 x - 95 = 0$

Schritt 5

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 5.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot - 95 = - 285$ und deren Summe gleich $b = 4$ ist.

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x$ heraus.

$3 x^{2} + 4 (x) - 95 = 0$

Schritt 5.1.2

Schreibe $4$ um als $- 15$ plus $19$

$3 x^{2} + (- 15 + 19) x - 95 = 0$

Schritt 5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} - 15 x + 19 x - 95 = 0$

Schritt 5.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 5.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(3 x^{2} - 15 x) + 19 x - 95 = 0$

Schritt 5.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$3 x (x - 5) + 19 (x - 5) = 0$

Schritt 5.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x - 5$ .

$(x - 5) (3 x + 19) = 0$

Schritt 6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

$3 x + 19 = 0$

Schritt 7

Setze $x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $x - 5$ gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

Schritt 7.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 8

Setze $3 x + 19$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Setze $3 x + 19$ gleich $0$ .

$3 x + 19 = 0$

Schritt 8.2

Löse $3 x + 19 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 8.2.1

Subtrahiere $19$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = - 19$

Schritt 8.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 19$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 8.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 19$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 19}{3}$

Schritt 8.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 8.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 19}{3}$

Schritt 8.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 19}{3}$

Schritt 8.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{19}{3}$

Schritt 9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 5) (3 x + 19) = 0$ wahr machen.

$x = 5, - \frac{19}{3}$