Algebravorstufe Beispiele

$9 y^{2} - 12 y + 13 = 0$

Schritt 1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2

Setze die Werte $a = 9$ , $b = - 12$ und $c = 13$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot (9 \cdot 13)}}{2 \cdot 9}$

Schritt 3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Potenziere $- 12$ mit $2$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 9 \cdot 13}}{2 \cdot 9}$

Schritt 3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 9 \cdot 13$ .

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Schritt 3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $9$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 36 \cdot 13}}{2 \cdot 9}$

Schritt 3.1.2.2

Mutltipliziere $- 36$ mit $13$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 468}}{2 \cdot 9}$

Schritt 3.1.3

Subtrahiere $468$ von $144$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{- 324}}{2 \cdot 9}$

Schritt 3.1.4

Schreibe $- 324$ als $- 1 (324)$ um.

$y = \frac{12 \pm \sqrt{- 1 \cdot 324}}{2 \cdot 9}$

Schritt 3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (324)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{324}$ um.

$y = \frac{12 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{324}}{2 \cdot 9}$

Schritt 3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$y = \frac{12 \pm i \cdot \sqrt{324}}{2 \cdot 9}$

Schritt 3.1.7

Schreibe $324$ als $18^{2}$ um.

$y = \frac{12 \pm i \cdot \sqrt{18^{2}}}{2 \cdot 9}$

Schritt 3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$y = \frac{12 \pm i \cdot 18}{2 \cdot 9}$

Schritt 3.1.9

Bringe $18$ auf die linke Seite von $i$ .

$y = \frac{12 \pm 18 i}{2 \cdot 9}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$y = \frac{12 \pm 18 i}{18}$

Schritt 3.3

Vereinfache $\frac{12 \pm 18 i}{18}$ .

$y = \frac{2 \pm 3 i}{3}$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Potenziere $- 12$ mit $2$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 9 \cdot 13}}{2 \cdot 9}$

Schritt 4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 9 \cdot 13$ .

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $9$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 36 \cdot 13}}{2 \cdot 9}$

Schritt 4.1.2.2

Mutltipliziere $- 36$ mit $13$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 468}}{2 \cdot 9}$

Schritt 4.1.3

Subtrahiere $468$ von $144$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{- 324}}{2 \cdot 9}$

Schritt 4.1.4

Schreibe $- 324$ als $- 1 (324)$ um.

$y = \frac{12 \pm \sqrt{- 1 \cdot 324}}{2 \cdot 9}$

Schritt 4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (324)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{324}$ um.

$y = \frac{12 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{324}}{2 \cdot 9}$

Schritt 4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$y = \frac{12 \pm i \cdot \sqrt{324}}{2 \cdot 9}$

Schritt 4.1.7

Schreibe $324$ als $18^{2}$ um.

$y = \frac{12 \pm i \cdot \sqrt{18^{2}}}{2 \cdot 9}$

Schritt 4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$y = \frac{12 \pm i \cdot 18}{2 \cdot 9}$

Schritt 4.1.9

Bringe $18$ auf die linke Seite von $i$ .

$y = \frac{12 \pm 18 i}{2 \cdot 9}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$y = \frac{12 \pm 18 i}{18}$

Schritt 4.3

Vereinfache $\frac{12 \pm 18 i}{18}$ .

$y = \frac{2 \pm 3 i}{3}$

Schritt 4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = \frac{2 + 3 i}{3}$

Schritt 4.5

Zerlege den Bruch $\frac{2 + 3 i}{3}$ in zwei Brüche.

$y = \frac{2}{3} + \frac{3 i}{3}$

Schritt 4.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{2}{3} + \frac{3 i}{3}$

Schritt 4.6.2

Dividiere $i$ durch $1$ .

$y = \frac{2}{3} + i$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Potenziere $- 12$ mit $2$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 9 \cdot 13}}{2 \cdot 9}$

Schritt 5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 9 \cdot 13$ .

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Schritt 5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $9$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 36 \cdot 13}}{2 \cdot 9}$

Schritt 5.1.2.2

Mutltipliziere $- 36$ mit $13$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 468}}{2 \cdot 9}$

Schritt 5.1.3

Subtrahiere $468$ von $144$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{- 324}}{2 \cdot 9}$

Schritt 5.1.4

Schreibe $- 324$ als $- 1 (324)$ um.

$y = \frac{12 \pm \sqrt{- 1 \cdot 324}}{2 \cdot 9}$

Schritt 5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (324)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{324}$ um.

$y = \frac{12 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{324}}{2 \cdot 9}$

Schritt 5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$y = \frac{12 \pm i \cdot \sqrt{324}}{2 \cdot 9}$

Schritt 5.1.7

Schreibe $324$ als $18^{2}$ um.

$y = \frac{12 \pm i \cdot \sqrt{18^{2}}}{2 \cdot 9}$

Schritt 5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$y = \frac{12 \pm i \cdot 18}{2 \cdot 9}$

Schritt 5.1.9

Bringe $18$ auf die linke Seite von $i$ .

$y = \frac{12 \pm 18 i}{2 \cdot 9}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$y = \frac{12 \pm 18 i}{18}$

Schritt 5.3

Vereinfache $\frac{12 \pm 18 i}{18}$ .

$y = \frac{2 \pm 3 i}{3}$

Schritt 5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = \frac{2 - 3 i}{3}$

Schritt 5.5

Zerlege den Bruch $\frac{2 - 3 i}{3}$ in zwei Brüche.

$y = \frac{2}{3} + \frac{- 3 i}{3}$

Schritt 5.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 3$ und $3$ .

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Schritt 5.6.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 i$ heraus.

$y = \frac{2}{3} + \frac{3 (- i)}{3}$

Schritt 5.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.6.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$y = \frac{2}{3} + \frac{3 (- i)}{3 (1)}$

Schritt 5.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{2}{3} + \frac{3 (- i)}{3 \cdot 1}$

Schritt 5.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{2}{3} + \frac{- i}{1}$

Schritt 5.6.2.4

Dividiere $- i$ durch $1$ .

$y = \frac{2}{3} - i$

Schritt 6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = \frac{2}{3} + i, \frac{2}{3} - i$