Algebravorstufe Beispiele

$(\sqrt{x + 4} + x^{2}) (12)$

Schritt 1

Stelle $12 \sqrt{x + 4}$ und $12 x^{2}$ um.

$y = 12 x^{2} + 12 \sqrt{x + 4}$

Schritt 2

Bestimme den Definitionsbereich von $y = (\sqrt{x + 4} + x^{2}) (12)$ , sodass eine Liste von $x$ -Werten ausgewählt werden kann, um eine Liste von Punkten zu erzeugen, die dazu dient, die Wurzelfunktion graphisch darzustellen.

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Schritt 2.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{x + 4}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x + 4 \geq 0$

Schritt 2.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$x \geq - 4$

Schritt 2.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$[- 4, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \geq - 4}$

Intervallschreibweise:

$[- 4, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \geq - 4}$

Schritt 3

Um den Endpunkt des Wurzelausdrucks zu ermitteln, setze den $x$ -Wert $- 4$ , welcher der kleinste Wert im Definitionsbereich ist, in $f (x) = 12 x^{2} + 12 \sqrt{x + 4}$ ein.

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 4$ .

$f (- 4) = 12 {(- 4)}^{2} + 12 \sqrt{(- 4) + 4}$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$f (- 4) = 12 \cdot 16 + 12 \sqrt{(- 4) + 4}$

Schritt 3.2.1.2

Mutltipliziere $12$ mit $16$ .

$f (- 4) = 192 + 12 \sqrt{(- 4) + 4}$

Schritt 3.2.1.3

Addiere $- 4$ und $4$ .

$f (- 4) = 192 + 12 \sqrt{0}$

Schritt 3.2.1.4

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$f (- 4) = 192 + 12 \sqrt{0^{2}}$

Schritt 3.2.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (- 4) = 192 + 12 \cdot 0$

Schritt 3.2.1.6

Mutltipliziere $12$ mit $0$ .

$f (- 4) = 192 + 0$

Schritt 3.2.2

Addiere $192$ und $0$ .

$f (- 4) = 192$

Schritt 3.2.3

Die endgültige Lösung ist $192$ .

$192$

Schritt 4

Der Endpunkt des Wurzelausdrucks ist $(- 4, 192)$ .

$(- 4, 192)$

Schritt 5

Wähle einige $x$ -Werte aus dem Definitionsbereich. Es wäre nützlicher, die Werte so zu wählen, dass sie nahe beim $x$ -Wert des Endpunktes des Wurzelausdrucks liegen.

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Schritt 5.1

Setze den $x$ -Wert $- 3$ in $f (x) = 12 x^{2} + 12 \sqrt{x + 4}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(- 3, 120)$ .

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Schritt 5.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 3$ .

$f (- 3) = 12 {(- 3)}^{2} + 12 \sqrt{(- 3) + 4}$

Schritt 5.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.2.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$f (- 3) = 12 \cdot 9 + 12 \sqrt{(- 3) + 4}$

Schritt 5.1.2.1.2

Mutltipliziere $12$ mit $9$ .

$f (- 3) = 108 + 12 \sqrt{(- 3) + 4}$

Schritt 5.1.2.1.3

Addiere $- 3$ und $4$ .

$f (- 3) = 108 + 12 \sqrt{1}$

Schritt 5.1.2.1.4

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$f (- 3) = 108 + 12 \cdot 1$

Schritt 5.1.2.1.5

Mutltipliziere $12$ mit $1$ .

$f (- 3) = 108 + 12$

Schritt 5.1.2.2

Addiere $108$ und $12$ .

$f (- 3) = 120$

Schritt 5.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $120$ .

$y = 120$

Schritt 5.2

Setze den $x$ -Wert $- 2$ in $f (x) = 12 x^{2} + 12 \sqrt{x + 4}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(- 2, 48 + 12 \sqrt{2})$ .

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Schritt 5.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f (- 2) = 12 {(- 2)}^{2} + 12 \sqrt{(- 2) + 4}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.2.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$f (- 2) = 12 \cdot 4 + 12 \sqrt{(- 2) + 4}$

Schritt 5.2.2.1.2

Mutltipliziere $12$ mit $4$ .

$f (- 2) = 48 + 12 \sqrt{(- 2) + 4}$

Schritt 5.2.2.1.3

Addiere $- 2$ und $4$ .

$f (- 2) = 48 + 12 \sqrt{2}$

Schritt 5.2.2.2

Die endgültige Lösung ist $48 + 12 \sqrt{2}$ .

$y = 48 + 12 \sqrt{2}$

Schritt 5.3

Die Quadratwurzelfunktion kann mithilfe der Punkte um den Scheitelpunkt $(- 4, 192), (- 3, 120), (- 2, 64.97)$ graphisch dargestellt werden

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & 192 \\ - 3 & 120 \\ - 2 & 64.97 \end{array}$

Schritt 6