Algebravorstufe Beispiele

$3 {(x - 6)}^{2} + x^{2} = x (x + 71) - 47 x$

Schritt 1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$x (x + 71) - 47 x = 3 {(x - 6)}^{2} + x^{2}$

Schritt 2

Vereinfache $x (x + 71) - 47 x$ .

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot 71 - 47 x = 3 {(x - 6)}^{2} + x^{2}$

Schritt 2.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + x \cdot 71 - 47 x = 3 {(x - 6)}^{2} + x^{2}$

Schritt 2.1.3

Bringe $71$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} + 71 x - 47 x = 3 {(x - 6)}^{2} + x^{2}$

Schritt 2.2

Subtrahiere $47 x$ von $71 x$ .

$x^{2} + 24 x = 3 {(x - 6)}^{2} + x^{2}$

Schritt 3

Vereinfache $3 {(x - 6)}^{2} + x^{2}$ .

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Schreibe ${(x - 6)}^{2}$ als $(x - 6) (x - 6)$ um.

$x^{2} + 24 x = 3 ((x - 6) (x - 6)) + x^{2}$

Schritt 3.1.2

Multipliziere $(x - 6) (x - 6)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + 24 x = 3 (x (x - 6) - 6 (x - 6)) + x^{2}$

Schritt 3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + 24 x = 3 (x \cdot x + x \cdot - 6 - 6 (x - 6)) + x^{2}$

Schritt 3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + 24 x = 3 (x \cdot x + x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6) + x^{2}$

Schritt 3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + 24 x = 3 (x^{2} + x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6) + x^{2}$

Schritt 3.1.3.1.2

Bringe $- 6$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} + 24 x = 3 (x^{2} - 6 \cdot x - 6 x - 6 \cdot - 6) + x^{2}$

Schritt 3.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 6$ .

$x^{2} + 24 x = 3 (x^{2} - 6 x - 6 x + 36) + x^{2}$

Schritt 3.1.3.2

Subtrahiere $6 x$ von $- 6 x$ .

$x^{2} + 24 x = 3 (x^{2} - 12 x + 36) + x^{2}$

Schritt 3.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + 24 x = 3 x^{2} + 3 (- 12 x) + 3 \cdot 36 + x^{2}$

Schritt 3.1.5

Vereinfache.

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Schritt 3.1.5.1

Mutltipliziere $- 12$ mit $3$ .

$x^{2} + 24 x = 3 x^{2} - 36 x + 3 \cdot 36 + x^{2}$

Schritt 3.1.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $36$ .

$x^{2} + 24 x = 3 x^{2} - 36 x + 108 + x^{2}$

Schritt 3.2

Addiere $3 x^{2}$ und $x^{2}$ .

$x^{2} + 24 x = 4 x^{2} - 36 x + 108$

Schritt 4

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $4 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 24 x - 4 x^{2} = - 36 x + 108$

Schritt 4.2

Addiere $36 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 24 x - 4 x^{2} + 36 x = 108$

Schritt 4.3

Subtrahiere $4 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$- 3 x^{2} + 24 x + 36 x = 108$

Schritt 4.4

Addiere $24 x$ und $36 x$ .

$- 3 x^{2} + 60 x = 108$

Schritt 5

Subtrahiere $108$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 x^{2} + 60 x - 108 = 0$

Schritt 6

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $- 3$ aus $- 3 x^{2} + 60 x - 108$ heraus.

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Schritt 6.1.1

Faktorisiere $- 3$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$- 3 x^{2} + 60 x - 108 = 0$

Schritt 6.1.2

Faktorisiere $- 3$ aus $60 x$ heraus.

$- 3 x^{2} - 3 (- 20 x) - 108 = 0$

Schritt 6.1.3

Faktorisiere $- 3$ aus $- 108$ heraus.

$- 3 x^{2} - 3 (- 20 x) - 3 \cdot 36 = 0$

Schritt 6.1.4

Faktorisiere $- 3$ aus $- 3 (x^{2}) - 3 (- 20 x)$ heraus.

$- 3 (x^{2} - 20 x) - 3 \cdot 36 = 0$

Schritt 6.1.5

Faktorisiere $- 3$ aus $- 3 (x^{2} - 20 x) - 3 (36)$ heraus.

$- 3 (x^{2} - 20 x + 36) = 0$

Schritt 6.2

Faktorisiere.

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $x^{2} - 20 x + 36$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 6.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $36$ und deren Summe $- 20$ ist.

$- 18, - 2$

Schritt 6.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- 3 ((x - 18) (x - 2)) = 0$

Schritt 6.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- 3 (x - 18) (x - 2) = 0$

Schritt 7

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 18 = 0$

$x - 2 = 0$

Schritt 8

Setze $x - 18$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Setze $x - 18$ gleich $0$ .

$x - 18 = 0$

Schritt 8.2

Addiere $18$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 18$

Schritt 9

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 9.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 9.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 10

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- 3 (x - 18) (x - 2) = 0$ wahr machen.

$x = 18, 2$