Algebravorstufe Beispiele

$2 k (k + 15) = 15$

Schritt 1

Teile jeden Ausdruck in $2 k (k + 15) = 15$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $2 k (k + 15) = 15$ durch $2$ .

$\frac{2 k (k + 15)}{2} = \frac{15}{2}$

Schritt 1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 k (k + 15)}{2} = \frac{15}{2}$

Schritt 1.2.1.2

Dividiere $k (k + 15)$ durch $1$ .

$k (k + 15) = \frac{15}{2}$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$k \cdot k + k \cdot 15 = \frac{15}{2}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.3.1

Mutltipliziere $k$ mit $k$ .

$k^{2} + k \cdot 15 = \frac{15}{2}$

Schritt 1.2.3.2

Bringe $15$ auf die linke Seite von $k$ .

$k^{2} + 15 k = \frac{15}{2}$

Schritt 2

Subtrahiere $\frac{15}{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$k^{2} + 15 k - \frac{15}{2} = 0$

Schritt 3

Multipliziere mit dem Hauptnenner $2$ aus und vereinfache dann.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 k^{2} + 2 (15 k) + 2 (- \frac{15}{2}) = 0$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Mutltipliziere $15$ mit $2$ .

$2 k^{2} + 30 k + 2 (- \frac{15}{2}) = 0$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{15}{2}$ in den Zähler.

$2 k^{2} + 30 k + 2 (\frac{- 15}{2}) = 0$

Schritt 3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 k^{2} + 30 k + 2 (\frac{- 15}{2}) = 0$

Schritt 3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 k^{2} + 30 k - 15 = 0$

Schritt 4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 5

Setze die Werte $a = 2$ , $b = 30$ und $c = - 15$ in die Quadratformel ein und löse nach $k$ auf.

$\frac{- 30 \pm \sqrt{30^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 15)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Potenziere $30$ mit $2$ .

$k = \frac{- 30 \pm \sqrt{900 - 4 \cdot 2 \cdot - 15}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot - 15$ .

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Schritt 6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$k = \frac{- 30 \pm \sqrt{900 - 8 \cdot - 15}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 15$ .

$k = \frac{- 30 \pm \sqrt{900 + 120}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.1.3

Addiere $900$ und $120$ .

$k = \frac{- 30 \pm \sqrt{1020}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.1.4

Schreibe $1020$ als $2^{2} \cdot 255$ um.

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Schritt 6.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $1020$ heraus.

$k = \frac{- 30 \pm \sqrt{4 (255)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$k = \frac{- 30 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 255}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$k = \frac{- 30 \pm 2 \sqrt{255}}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$k = \frac{- 30 \pm 2 \sqrt{255}}{4}$

Schritt 6.3

Vereinfache $\frac{- 30 \pm 2 \sqrt{255}}{4}$ .

$k = \frac{- 15 \pm \sqrt{255}}{2}$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Potenziere $30$ mit $2$ .

$k = \frac{- 30 \pm \sqrt{900 - 4 \cdot 2 \cdot - 15}}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot - 15$ .

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Schritt 7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$k = \frac{- 30 \pm \sqrt{900 - 8 \cdot - 15}}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 15$ .

$k = \frac{- 30 \pm \sqrt{900 + 120}}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.1.3

Addiere $900$ und $120$ .

$k = \frac{- 30 \pm \sqrt{1020}}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.1.4

Schreibe $1020$ als $2^{2} \cdot 255$ um.

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Schritt 7.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $1020$ heraus.

$k = \frac{- 30 \pm \sqrt{4 (255)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$k = \frac{- 30 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 255}}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$k = \frac{- 30 \pm 2 \sqrt{255}}{2 \cdot 2}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$k = \frac{- 30 \pm 2 \sqrt{255}}{4}$

Schritt 7.3

Vereinfache $\frac{- 30 \pm 2 \sqrt{255}}{4}$ .

$k = \frac{- 15 \pm \sqrt{255}}{2}$

Schritt 7.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$k = \frac{- 15 + \sqrt{255}}{2}$

Schritt 7.5

Schreibe $- 15$ als $- 1 (15)$ um.

$k = \frac{- 1 \cdot 15 + \sqrt{255}}{2}$

Schritt 7.6

Faktorisiere $- 1$ aus $\sqrt{255}$ heraus.

$k = \frac{- 1 \cdot 15 - 1 (- \sqrt{255})}{2}$

Schritt 7.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (15) - 1 (- \sqrt{255})$ heraus.

$k = \frac{- 1 (15 - \sqrt{255})}{2}$

Schritt 7.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$k = - \frac{15 - \sqrt{255}}{2}$

Schritt 8

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1.1

Potenziere $30$ mit $2$ .

$k = \frac{- 30 \pm \sqrt{900 - 4 \cdot 2 \cdot - 15}}{2 \cdot 2}$

Schritt 8.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot - 15$ .

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Schritt 8.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$k = \frac{- 30 \pm \sqrt{900 - 8 \cdot - 15}}{2 \cdot 2}$

Schritt 8.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 15$ .

$k = \frac{- 30 \pm \sqrt{900 + 120}}{2 \cdot 2}$

Schritt 8.1.3

Addiere $900$ und $120$ .

$k = \frac{- 30 \pm \sqrt{1020}}{2 \cdot 2}$

Schritt 8.1.4

Schreibe $1020$ als $2^{2} \cdot 255$ um.

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Schritt 8.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $1020$ heraus.

$k = \frac{- 30 \pm \sqrt{4 (255)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 8.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$k = \frac{- 30 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 255}}{2 \cdot 2}$

Schritt 8.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$k = \frac{- 30 \pm 2 \sqrt{255}}{2 \cdot 2}$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$k = \frac{- 30 \pm 2 \sqrt{255}}{4}$

Schritt 8.3

Vereinfache $\frac{- 30 \pm 2 \sqrt{255}}{4}$ .

$k = \frac{- 15 \pm \sqrt{255}}{2}$

Schritt 8.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$k = \frac{- 15 - \sqrt{255}}{2}$

Schritt 8.5

Schreibe $- 15$ als $- 1 (15)$ um.

$k = \frac{- 1 \cdot 15 - \sqrt{255}}{2}$

Schritt 8.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sqrt{255}$ heraus.

$k = \frac{- 1 \cdot 15 - (\sqrt{255})}{2}$

Schritt 8.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (15) - (\sqrt{255})$ heraus.

$k = \frac{- 1 (15 + \sqrt{255})}{2}$

Schritt 8.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$k = - \frac{15 + \sqrt{255}}{2}$

Schritt 9

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$k = - \frac{15 - \sqrt{255}}{2}, - \frac{15 + \sqrt{255}}{2}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$k = - \frac{15 - \sqrt{255}}{2}, - \frac{15 + \sqrt{255}}{2}$

Dezimalform:

$k = 0.48435971 \dots, - 15.48435971 \dots$