Algebravorstufe Beispiele

$3 x^{2} + 6 x = \frac{1}{2} \cdot (x + 2)$

Schritt 1

Vereinfache $\frac{1}{2} \cdot (x + 2)$ .

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Schritt 1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} + 6 x = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot 2$

Schritt 1.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x$ .

$3 x^{2} + 6 x = \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot 2$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 x^{2} + 6 x = \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot 2$

Schritt 1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$3 x^{2} + 6 x = \frac{x}{2} + 1$

Schritt 2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $\frac{x}{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{2} + 6 x - \frac{x}{2} = 1$

Schritt 2.2

Um $6 x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$3 x^{2} + 6 x \cdot \frac{2}{2} - \frac{x}{2} = 1$

Schritt 2.3

Kombiniere $6 x$ und $\frac{2}{2}$ .

$3 x^{2} + \frac{6 x \cdot 2}{2} - \frac{x}{2} = 1$

Schritt 2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 x^{2} + \frac{6 x \cdot 2 - x}{2} = 1$

Schritt 2.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.1.1

Faktorisiere $x$ aus $6 x \cdot 2 - x$ heraus.

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Schritt 2.5.1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $6 x \cdot 2$ heraus.

$3 x^{2} + \frac{x (6 \cdot 2) - x}{2} = 1$

Schritt 2.5.1.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- x$ heraus.

$3 x^{2} + \frac{x (6 \cdot 2) + x \cdot - 1}{2} = 1$

Schritt 2.5.1.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x (6 \cdot 2) + x \cdot - 1$ heraus.

$3 x^{2} + \frac{x (6 \cdot 2 - 1)}{2} = 1$

Schritt 2.5.1.2

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$3 x^{2} + \frac{x (12 - 1)}{2} = 1$

Schritt 2.5.1.3

Subtrahiere $1$ von $12$ .

$3 x^{2} + \frac{x \cdot 11}{2} = 1$

Schritt 2.5.2

Bringe $11$ auf die linke Seite von $x$ .

$3 x^{2} + \frac{11 x}{2} = 1$

Schritt 3

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{2} + \frac{11 x}{2} - 1 = 0$

Schritt 4

Multipliziere mit dem Hauptnenner $2$ aus und vereinfache dann.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (3 x^{2}) + 2 (\frac{11 x}{2}) + 2 \cdot - 1 = 0$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$6 x^{2} + 2 (\frac{11 x}{2}) + 2 \cdot - 1 = 0$

Schritt 4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 x^{2} + 2 (\frac{11 x}{2}) + 2 \cdot - 1 = 0$

Schritt 4.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$6 x^{2} + 11 x + 2 \cdot - 1 = 0$

Schritt 4.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$6 x^{2} + 11 x - 2 = 0$

Schritt 5

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 6

Setze die Werte $a = 6$ , $b = 11$ und $c = - 2$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot (6 \cdot - 2)}}{2 \cdot 6}$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Potenziere $11$ mit $2$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 4 \cdot 6 \cdot - 2}}{2 \cdot 6}$

Schritt 7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 6 \cdot - 2$ .

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Schritt 7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $6$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 24 \cdot - 2}}{2 \cdot 6}$

Schritt 7.1.2.2

Mutltipliziere $- 24$ mit $- 2$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 + 48}}{2 \cdot 6}$

Schritt 7.1.3

Addiere $121$ und $48$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{169}}{2 \cdot 6}$

Schritt 7.1.4

Schreibe $169$ als $13^{2}$ um.

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{13^{2}}}{2 \cdot 6}$

Schritt 7.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{- 11 \pm 13}{2 \cdot 6}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$x = \frac{- 11 \pm 13}{12}$

Schritt 8

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1.1

Potenziere $11$ mit $2$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 4 \cdot 6 \cdot - 2}}{2 \cdot 6}$

Schritt 8.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 6 \cdot - 2$ .

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Schritt 8.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $6$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 24 \cdot - 2}}{2 \cdot 6}$

Schritt 8.1.2.2

Mutltipliziere $- 24$ mit $- 2$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 + 48}}{2 \cdot 6}$

Schritt 8.1.3

Addiere $121$ und $48$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{169}}{2 \cdot 6}$

Schritt 8.1.4

Schreibe $169$ als $13^{2}$ um.

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{13^{2}}}{2 \cdot 6}$

Schritt 8.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{- 11 \pm 13}{2 \cdot 6}$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$x = \frac{- 11 \pm 13}{12}$

Schritt 8.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{- 11 + 13}{12}$

Schritt 8.4

Addiere $- 11$ und $13$ .

$x = \frac{2}{12}$

Schritt 8.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $12$ .

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Schritt 8.5.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$x = \frac{2 (1)}{12}$

Schritt 8.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6}$

Schritt 8.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6}$

Schritt 8.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{1}{6}$

Schritt 9

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1.1

Potenziere $11$ mit $2$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 4 \cdot 6 \cdot - 2}}{2 \cdot 6}$

Schritt 9.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 6 \cdot - 2$ .

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Schritt 9.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $6$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 24 \cdot - 2}}{2 \cdot 6}$

Schritt 9.1.2.2

Mutltipliziere $- 24$ mit $- 2$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 + 48}}{2 \cdot 6}$

Schritt 9.1.3

Addiere $121$ und $48$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{169}}{2 \cdot 6}$

Schritt 9.1.4

Schreibe $169$ als $13^{2}$ um.

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{13^{2}}}{2 \cdot 6}$

Schritt 9.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{- 11 \pm 13}{2 \cdot 6}$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$x = \frac{- 11 \pm 13}{12}$

Schritt 9.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{- 11 - 13}{12}$

Schritt 9.4

Subtrahiere $13$ von $- 11$ .

$x = \frac{- 24}{12}$

Schritt 9.5

Dividiere $- 24$ durch $12$ .

$x = - 2$

Schritt 10

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{1}{6}, - 2$