Algebravorstufe Beispiele

$4 x^{2} + \frac{3}{2} = 5 x$

Schritt 1

Subtrahiere $5 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{2} + \frac{3}{2} - 5 x = 0$

Schritt 2

Multipliziere mit dem Hauptnenner $2$ aus und vereinfache dann.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (4 x^{2}) + 2 (\frac{3}{2}) + 2 (- 5 x) = 0$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$8 x^{2} + 2 (\frac{3}{2}) + 2 (- 5 x) = 0$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 x^{2} + 2 (\frac{3}{2}) + 2 (- 5 x) = 0$

Schritt 2.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$8 x^{2} + 3 + 2 (- 5 x) = 0$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $2$ .

$8 x^{2} + 3 - 10 x = 0$

Schritt 2.3

Bewege $3$ .

$8 x^{2} - 10 x + 3 = 0$

Schritt 3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4

Setze die Werte $a = 8$ , $b = - 10$ und $c = 3$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (8 \cdot 3)}}{2 \cdot 8}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Potenziere $- 10$ mit $2$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 8 \cdot 3}}{2 \cdot 8}$

Schritt 5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 8 \cdot 3$ .

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Schritt 5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $8$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 32 \cdot 3}}{2 \cdot 8}$

Schritt 5.1.2.2

Mutltipliziere $- 32$ mit $3$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 96}}{2 \cdot 8}$

Schritt 5.1.3

Subtrahiere $96$ von $100$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 8}$

Schritt 5.1.4

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 8}$

Schritt 5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{10 \pm 2}{2 \cdot 8}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$x = \frac{10 \pm 2}{16}$

Schritt 5.3

Vereinfache $\frac{10 \pm 2}{16}$ .

$x = \frac{5 \pm 1}{8}$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Potenziere $- 10$ mit $2$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 8 \cdot 3}}{2 \cdot 8}$

Schritt 6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 8 \cdot 3$ .

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Schritt 6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $8$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 32 \cdot 3}}{2 \cdot 8}$

Schritt 6.1.2.2

Mutltipliziere $- 32$ mit $3$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 96}}{2 \cdot 8}$

Schritt 6.1.3

Subtrahiere $96$ von $100$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 8}$

Schritt 6.1.4

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 8}$

Schritt 6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{10 \pm 2}{2 \cdot 8}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$x = \frac{10 \pm 2}{16}$

Schritt 6.3

Vereinfache $\frac{10 \pm 2}{16}$ .

$x = \frac{5 \pm 1}{8}$

Schritt 6.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{5 + 1}{8}$

Schritt 6.5

Addiere $5$ und $1$ .

$x = \frac{6}{8}$

Schritt 6.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $8$ .

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Schritt 6.6.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$x = \frac{2 (3)}{8}$

Schritt 6.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$x = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{3}{4}$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Potenziere $- 10$ mit $2$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 8 \cdot 3}}{2 \cdot 8}$

Schritt 7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 8 \cdot 3$ .

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Schritt 7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $8$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 32 \cdot 3}}{2 \cdot 8}$

Schritt 7.1.2.2

Mutltipliziere $- 32$ mit $3$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 96}}{2 \cdot 8}$

Schritt 7.1.3

Subtrahiere $96$ von $100$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 8}$

Schritt 7.1.4

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 8}$

Schritt 7.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{10 \pm 2}{2 \cdot 8}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$x = \frac{10 \pm 2}{16}$

Schritt 7.3

Vereinfache $\frac{10 \pm 2}{16}$ .

$x = \frac{5 \pm 1}{8}$

Schritt 7.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{5 - 1}{8}$

Schritt 7.5

Subtrahiere $1$ von $5$ .

$x = \frac{4}{8}$

Schritt 7.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $8$ .

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Schritt 7.6.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$x = \frac{4 (1)}{8}$

Schritt 7.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.6.2.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$x = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}$

Schritt 7.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}$

Schritt 7.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{3}{4}, \frac{1}{2}$