Algebravorstufe Beispiele

$4 x^{2} + 7 x = 5 x - 5$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $5 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{2} + 7 x - 5 x = - 5$

Schritt 1.2

Subtrahiere $5 x$ von $7 x$ .

$4 x^{2} + 2 x = - 5$

Schritt 2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{2} + 2 x + 5 = 0$

Schritt 3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4

Setze die Werte $a = 4$ , $b = 2$ und $c = 5$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 5)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot 5}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 4 \cdot 5$ .

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Schritt 5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot 5}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.2.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $5$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 80}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.3

Subtrahiere $80$ von $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 76}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.4

Schreibe $- 76$ als $- 1 (76)$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 76}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (76)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{76}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{76}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{76}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.7

Schreibe $76$ als $2^{2} \cdot 19$ um.

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Schritt 5.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $76$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (19)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 19}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{19})}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{19}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{19}}{8}$

Schritt 5.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{19}}{8}$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{19}}{4}$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot 5}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 4 \cdot 5$ .

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Schritt 6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot 5}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.1.2.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $5$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 80}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.1.3

Subtrahiere $80$ von $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 76}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.1.4

Schreibe $- 76$ als $- 1 (76)$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 76}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (76)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{76}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{76}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{76}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.1.7

Schreibe $76$ als $2^{2} \cdot 19$ um.

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Schritt 6.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $76$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (19)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 19}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{19})}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{19}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{19}}{8}$

Schritt 6.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{19}}{8}$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{19}}{4}$

Schritt 6.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{19}}{4}$

Schritt 6.5

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{19}}{4}$

Schritt 6.6

Faktorisiere $- 1$ aus $i \sqrt{19}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{19})}{4}$

Schritt 6.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - (- i \sqrt{19})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{19})}{4}$

Schritt 6.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{19}}{4}$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot 5}}{2 \cdot 4}$

Schritt 7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 4 \cdot 5$ .

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Schritt 7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot 5}}{2 \cdot 4}$

Schritt 7.1.2.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $5$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 80}}{2 \cdot 4}$

Schritt 7.1.3

Subtrahiere $80$ von $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 76}}{2 \cdot 4}$

Schritt 7.1.4

Schreibe $- 76$ als $- 1 (76)$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 76}}{2 \cdot 4}$

Schritt 7.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (76)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{76}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{76}}{2 \cdot 4}$

Schritt 7.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{76}}{2 \cdot 4}$

Schritt 7.1.7

Schreibe $76$ als $2^{2} \cdot 19$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $76$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (19)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 7.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 19}}{2 \cdot 4}$

Schritt 7.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{19})}{2 \cdot 4}$

Schritt 7.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{19}}{2 \cdot 4}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{19}}{8}$

Schritt 7.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{19}}{8}$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{19}}{4}$

Schritt 7.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{19}}{4}$

Schritt 7.5

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{19}}{4}$

Schritt 7.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- i \sqrt{19}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{19})}{4}$

Schritt 7.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - (i \sqrt{19})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{19})}{4}$

Schritt 7.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{19}}{4}$

Schritt 8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{19}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{19}}{4}$