Algebravorstufe Beispiele

$5 x^{2} + 2 x + 10 = 0$

Schritt 1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2

Setze die Werte $a = 5$ , $b = 2$ und $c = 10$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (5 \cdot 10)}}{2 \cdot 5}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 5 \cdot 10}}{2 \cdot 5}$

Schritt 3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 5 \cdot 10$ .

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Schritt 3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $5$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 20 \cdot 10}}{2 \cdot 5}$

Schritt 3.1.2.2

Mutltipliziere $- 20$ mit $10$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 200}}{2 \cdot 5}$

Schritt 3.1.3

Subtrahiere $200$ von $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 196}}{2 \cdot 5}$

Schritt 3.1.4

Schreibe $- 196$ als $- 1 (196)$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 196}}{2 \cdot 5}$

Schritt 3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (196)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{196}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{196}}{2 \cdot 5}$

Schritt 3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{196}}{2 \cdot 5}$

Schritt 3.1.7

Schreibe $196$ als $14^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{14^{2}}}{2 \cdot 5}$

Schritt 3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot 14}{2 \cdot 5}$

Schritt 3.1.9

Bringe $14$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 14 i}{2 \cdot 5}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$x = \frac{- 2 \pm 14 i}{10}$

Schritt 3.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 14 i}{10}$ .

$x = \frac{- 1 \pm 7 i}{5}$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 5 \cdot 10}}{2 \cdot 5}$

Schritt 4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 5 \cdot 10$ .

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $5$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 20 \cdot 10}}{2 \cdot 5}$

Schritt 4.1.2.2

Mutltipliziere $- 20$ mit $10$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 200}}{2 \cdot 5}$

Schritt 4.1.3

Subtrahiere $200$ von $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 196}}{2 \cdot 5}$

Schritt 4.1.4

Schreibe $- 196$ als $- 1 (196)$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 196}}{2 \cdot 5}$

Schritt 4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (196)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{196}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{196}}{2 \cdot 5}$

Schritt 4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{196}}{2 \cdot 5}$

Schritt 4.1.7

Schreibe $196$ als $14^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{14^{2}}}{2 \cdot 5}$

Schritt 4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot 14}{2 \cdot 5}$

Schritt 4.1.9

Bringe $14$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 14 i}{2 \cdot 5}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$x = \frac{- 2 \pm 14 i}{10}$

Schritt 4.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 14 i}{10}$ .

$x = \frac{- 1 \pm 7 i}{5}$

Schritt 4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{- 1 + 7 i}{5}$

Schritt 4.5

Zerlege den Bruch $\frac{- 1 + 7 i}{5}$ in zwei Brüche.

$x = \frac{- 1}{5} + \frac{7 i}{5}$

Schritt 4.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{5} + \frac{7 i}{5}$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 5 \cdot 10}}{2 \cdot 5}$

Schritt 5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 5 \cdot 10$ .

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Schritt 5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $5$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 20 \cdot 10}}{2 \cdot 5}$

Schritt 5.1.2.2

Mutltipliziere $- 20$ mit $10$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 200}}{2 \cdot 5}$

Schritt 5.1.3

Subtrahiere $200$ von $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 196}}{2 \cdot 5}$

Schritt 5.1.4

Schreibe $- 196$ als $- 1 (196)$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 196}}{2 \cdot 5}$

Schritt 5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (196)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{196}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{196}}{2 \cdot 5}$

Schritt 5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{196}}{2 \cdot 5}$

Schritt 5.1.7

Schreibe $196$ als $14^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{14^{2}}}{2 \cdot 5}$

Schritt 5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot 14}{2 \cdot 5}$

Schritt 5.1.9

Bringe $14$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 14 i}{2 \cdot 5}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$x = \frac{- 2 \pm 14 i}{10}$

Schritt 5.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 14 i}{10}$ .

$x = \frac{- 1 \pm 7 i}{5}$

Schritt 5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{- 1 - 7 i}{5}$

Schritt 5.5

Zerlege den Bruch $\frac{- 1 - 7 i}{5}$ in zwei Brüche.

$x = \frac{- 1}{5} + \frac{- 7 i}{5}$

Schritt 5.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.6.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{5} + \frac{- 7 i}{5}$

Schritt 5.6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{5} - \frac{7 i}{5}$

Schritt 6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{1}{5} + \frac{7 i}{5}, - \frac{1}{5} - \frac{7 i}{5}$