Algebravorstufe Beispiele

$5 x^{2} - \sqrt{3} x - 2 = 0$

Schritt 1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2

Setze die Werte $a = 5$ , $b = - \sqrt{3}$ und $c = - 2$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{{(- \sqrt{3})}^{2} - 4 \cdot (5 \cdot - 2)}}{2 \cdot 5}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{3}$ an.

$x = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot - 2}}{2 \cdot 5}$

Schritt 3.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{1 {\sqrt{3}}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot - 2}}{2 \cdot 5}$

Schritt 3.1.3

Mutltipliziere ${\sqrt{3}}^{2}$ mit $1$ .

$x = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{{\sqrt{3}}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot - 2}}{2 \cdot 5}$

Schritt 3.1.4

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 3.1.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot - 2}}{2 \cdot 5}$

Schritt 3.1.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4 \cdot 5 \cdot - 2}}{2 \cdot 5}$

Schritt 3.1.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{3^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot 5 \cdot - 2}}{2 \cdot 5}$

Schritt 3.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{3^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot 5 \cdot - 2}}{2 \cdot 5}$

Schritt 3.1.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{3 - 4 \cdot 5 \cdot - 2}}{2 \cdot 5}$

Schritt 3.1.4.5

Berechne den Exponenten.

$x = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{3 - 4 \cdot 5 \cdot - 2}}{2 \cdot 5}$

Schritt 3.1.5

Multipliziere $- 4 \cdot 5 \cdot - 2$ .

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Schritt 3.1.5.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $5$ .

$x = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{3 - 20 \cdot - 2}}{2 \cdot 5}$

Schritt 3.1.5.2

Mutltipliziere $- 20$ mit $- 2$ .

$x = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{3 + 40}}{2 \cdot 5}$

Schritt 3.1.6

Addiere $3$ und $40$ .

$x = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{43}}{2 \cdot 5}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$x = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{43}}{10}$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{3}$ an.

$x = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot - 2}}{2 \cdot 5}$

Schritt 4.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{1 {\sqrt{3}}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot - 2}}{2 \cdot 5}$

Schritt 4.1.3

Mutltipliziere ${\sqrt{3}}^{2}$ mit $1$ .

$x = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{{\sqrt{3}}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot - 2}}{2 \cdot 5}$

Schritt 4.1.4

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 4.1.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot - 2}}{2 \cdot 5}$

Schritt 4.1.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4 \cdot 5 \cdot - 2}}{2 \cdot 5}$

Schritt 4.1.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{3^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot 5 \cdot - 2}}{2 \cdot 5}$

Schritt 4.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{3^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot 5 \cdot - 2}}{2 \cdot 5}$

Schritt 4.1.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{3 - 4 \cdot 5 \cdot - 2}}{2 \cdot 5}$

Schritt 4.1.4.5

Berechne den Exponenten.

$x = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{3 - 4 \cdot 5 \cdot - 2}}{2 \cdot 5}$

Schritt 4.1.5

Multipliziere $- 4 \cdot 5 \cdot - 2$ .

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Schritt 4.1.5.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $5$ .

$x = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{3 - 20 \cdot - 2}}{2 \cdot 5}$

Schritt 4.1.5.2

Mutltipliziere $- 20$ mit $- 2$ .

$x = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{3 + 40}}{2 \cdot 5}$

Schritt 4.1.6

Addiere $3$ und $40$ .

$x = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{43}}{2 \cdot 5}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$x = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{43}}{10}$

Schritt 4.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{43}}{10}$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{3}$ an.

$x = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot - 2}}{2 \cdot 5}$

Schritt 5.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{1 {\sqrt{3}}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot - 2}}{2 \cdot 5}$

Schritt 5.1.3

Mutltipliziere ${\sqrt{3}}^{2}$ mit $1$ .

$x = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{{\sqrt{3}}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot - 2}}{2 \cdot 5}$

Schritt 5.1.4

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 5.1.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot - 2}}{2 \cdot 5}$

Schritt 5.1.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4 \cdot 5 \cdot - 2}}{2 \cdot 5}$

Schritt 5.1.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{3^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot 5 \cdot - 2}}{2 \cdot 5}$

Schritt 5.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.1.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{3^{\frac{2}{2}} - 4 \cdot 5 \cdot - 2}}{2 \cdot 5}$

Schritt 5.1.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{3 - 4 \cdot 5 \cdot - 2}}{2 \cdot 5}$

Schritt 5.1.4.5

Berechne den Exponenten.

$x = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{3 - 4 \cdot 5 \cdot - 2}}{2 \cdot 5}$

Schritt 5.1.5

Multipliziere $- 4 \cdot 5 \cdot - 2$ .

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Schritt 5.1.5.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $5$ .

$x = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{3 - 20 \cdot - 2}}{2 \cdot 5}$

Schritt 5.1.5.2

Mutltipliziere $- 20$ mit $- 2$ .

$x = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{3 + 40}}{2 \cdot 5}$

Schritt 5.1.6

Addiere $3$ und $40$ .

$x = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{43}}{2 \cdot 5}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$x = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{43}}{10}$

Schritt 5.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{43}}{10}$

Schritt 6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{43}}{10}, \frac{\sqrt{3} - \sqrt{43}}{10}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{43}}{10}, \frac{\sqrt{3} - \sqrt{43}}{10}$

Dezimalform:

$x = 0.82894893 \dots, - 0.48253877 \dots$