Algebravorstufe Beispiele

$4 x - 12 = 2 x (x + 6)$

Schritt 1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$2 x (x + 6) = 4 x - 12$

Schritt 2

Vereinfache $2 x (x + 6)$ .

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Schritt 2.1

Forme um.

$0 + 0 + 2 x (x + 6) = 4 x - 12$

Schritt 2.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$2 x (x + 6) = 4 x - 12$

Schritt 2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x \cdot x + 2 x \cdot 6 = 4 x - 12$

Schritt 2.4

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.4.1

Bewege $x$ .

$2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 6 = 4 x - 12$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$2 x^{2} + 2 x \cdot 6 = 4 x - 12$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$2 x^{2} + 12 x = 4 x - 12$

Schritt 3

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $4 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} + 12 x - 4 x = - 12$

Schritt 3.2

Subtrahiere $4 x$ von $12 x$ .

$2 x^{2} + 8 x = - 12$

Schritt 4

Addiere $12$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} + 8 x + 12 = 0$

Schritt 5

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} + 8 x + 12$ heraus.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$2 (x^{2}) + 8 x + 12 = 0$

Schritt 5.2

Faktorisiere $2$ aus $8 x$ heraus.

$2 (x^{2}) + 2 (4 x) + 12 = 0$

Schritt 5.3

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$2 x^{2} + 2 (4 x) + 2 \cdot 6 = 0$

Schritt 5.4

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} + 2 (4 x)$ heraus.

$2 (x^{2} + 4 x) + 2 \cdot 6 = 0$

Schritt 5.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (x^{2} + 4 x) + 2 \cdot 6$ heraus.

$2 (x^{2} + 4 x + 6) = 0$

Schritt 6

Teile jeden Ausdruck in $2 (x^{2} + 4 x + 6) = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 6.1

Teile jeden Ausdruck in $2 (x^{2} + 4 x + 6) = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 4 x + 6)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (x^{2} + 4 x + 6)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 6.2.1.2

Dividiere $x^{2} + 4 x + 6$ durch $1$ .

$x^{2} + 4 x + 6 = \frac{0}{2}$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$x^{2} + 4 x + 6 = 0$

Schritt 7

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 8

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 4$ und $c = 6$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 6)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 6$ .

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Schritt 9.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $6$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 24}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.1.3

Subtrahiere $24$ von $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.1.4

Schreibe $- 8$ als $- 1 (8)$ um.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (8)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ um.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.1.7

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 9.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$

Schritt 9.3

Vereinfache $\frac{- 4 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 2 \pm i \sqrt{2}$

Schritt 10

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 10.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 6$ .

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Schritt 10.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $6$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 24}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.1.3

Subtrahiere $24$ von $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.1.4

Schreibe $- 8$ als $- 1 (8)$ um.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (8)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ um.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.1.7

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 10.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$

Schritt 10.3

Vereinfache $\frac{- 4 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 2 \pm i \sqrt{2}$

Schritt 10.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = - 2 + i \sqrt{2}$

Schritt 11

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 11.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Schritt 11.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 6$ .

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Schritt 11.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Schritt 11.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $6$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 24}}{2 \cdot 1}$

Schritt 11.1.3

Subtrahiere $24$ von $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 11.1.4

Schreibe $- 8$ als $- 1 (8)$ um.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 11.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (8)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ um.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 11.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 11.1.7

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 11.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 11.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 11.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Schritt 11.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 11.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$

Schritt 11.3

Vereinfache $\frac{- 4 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 2 \pm i \sqrt{2}$

Schritt 11.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = - 2 - i \sqrt{2}$

Schritt 12

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - 2 + i \sqrt{2}, - 2 - i \sqrt{2}$