Algebravorstufe Beispiele

$- 4 x^{2} - 4 x - 5 = 0$

Schritt 1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2

Setze die Werte $a = - 4$ , $b = - 4$ und $c = - 5$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 4 \cdot - 5)}}{2 \cdot - 4}$

Schritt 3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot - 4}$

Schritt 3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 4 \cdot - 5$ .

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Schritt 3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 16 \cdot - 5}}{2 \cdot - 4}$

Schritt 3.1.2.2

Mutltipliziere $16$ mit $- 5$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 80}}{2 \cdot - 4}$

Schritt 3.1.3

Subtrahiere $80$ von $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 64}}{2 \cdot - 4}$

Schritt 3.1.4

Schreibe $- 64$ als $- 1 (64)$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 64}}{2 \cdot - 4}$

Schritt 3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (64)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot - 4}$

Schritt 3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot - 4}$

Schritt 3.1.7

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{8^{2}}}{2 \cdot - 4}$

Schritt 3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{4 \pm i \cdot 8}{2 \cdot - 4}$

Schritt 3.1.9

Bringe $8$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{4 \pm 8 i}{2 \cdot - 4}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$x = \frac{4 \pm 8 i}{- 8}$

Schritt 3.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 8 i}{- 8}$ .

$x = \frac{1 \pm 2 i}{- 2}$

Schritt 3.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1 \pm 2 i}{2}$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot - 4}$

Schritt 4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 4 \cdot - 5$ .

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 16 \cdot - 5}}{2 \cdot - 4}$

Schritt 4.1.2.2

Mutltipliziere $16$ mit $- 5$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 80}}{2 \cdot - 4}$

Schritt 4.1.3

Subtrahiere $80$ von $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 64}}{2 \cdot - 4}$

Schritt 4.1.4

Schreibe $- 64$ als $- 1 (64)$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 64}}{2 \cdot - 4}$

Schritt 4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (64)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot - 4}$

Schritt 4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot - 4}$

Schritt 4.1.7

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{8^{2}}}{2 \cdot - 4}$

Schritt 4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{4 \pm i \cdot 8}{2 \cdot - 4}$

Schritt 4.1.9

Bringe $8$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{4 \pm 8 i}{2 \cdot - 4}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$x = \frac{4 \pm 8 i}{- 8}$

Schritt 4.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 8 i}{- 8}$ .

$x = \frac{1 \pm 2 i}{- 2}$

Schritt 4.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1 \pm 2 i}{2}$

Schritt 4.5

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = - \frac{1 + 2 i}{2}$

Schritt 4.6

Zerlege den Bruch $\frac{1 + 2 i}{2}$ in zwei Brüche.

$x = - (\frac{1}{2} + \frac{2 i}{2})$

Schritt 4.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = - (\frac{1}{2} + \frac{2 i}{2})$

Schritt 4.7.2

Dividiere $i$ durch $1$ .

$x = - (\frac{1}{2} + i)$

Schritt 4.8

Wende das Distributivgesetz an.

$x = - \frac{1}{2} - i$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot - 4}$

Schritt 5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 4 \cdot - 5$ .

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Schritt 5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 16 \cdot - 5}}{2 \cdot - 4}$

Schritt 5.1.2.2

Mutltipliziere $16$ mit $- 5$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 80}}{2 \cdot - 4}$

Schritt 5.1.3

Subtrahiere $80$ von $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 64}}{2 \cdot - 4}$

Schritt 5.1.4

Schreibe $- 64$ als $- 1 (64)$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 64}}{2 \cdot - 4}$

Schritt 5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (64)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot - 4}$

Schritt 5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot - 4}$

Schritt 5.1.7

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{8^{2}}}{2 \cdot - 4}$

Schritt 5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{4 \pm i \cdot 8}{2 \cdot - 4}$

Schritt 5.1.9

Bringe $8$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{4 \pm 8 i}{2 \cdot - 4}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$x = \frac{4 \pm 8 i}{- 8}$

Schritt 5.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 8 i}{- 8}$ .

$x = \frac{1 \pm 2 i}{- 2}$

Schritt 5.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1 \pm 2 i}{2}$

Schritt 5.5

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = - \frac{1 - 2 i}{2}$

Schritt 5.6

Zerlege den Bruch $\frac{1 - 2 i}{2}$ in zwei Brüche.

$x = - (\frac{1}{2} + \frac{- 2 i}{2})$

Schritt 5.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 5.7.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 i$ heraus.

$x = - (\frac{1}{2} + \frac{2 (- i)}{2})$

Schritt 5.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$x = - (\frac{1}{2} + \frac{2 (- i)}{2 (1)})$

Schritt 5.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = - (\frac{1}{2} + \frac{2 (- i)}{2 \cdot 1})$

Schritt 5.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = - (\frac{1}{2} + \frac{- i}{1})$

Schritt 5.7.2.4

Dividiere $- i$ durch $1$ .

$x = - (\frac{1}{2} - i)$

Schritt 5.8

Wende das Distributivgesetz an.

$x = - \frac{1}{2} + i$

Schritt 5.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x = - \frac{1}{2} + 1 i$

Schritt 5.10

Mutltipliziere $i$ mit $1$ .

$x = - \frac{1}{2} + i$

Schritt 6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{1}{2} - i, - \frac{1}{2} + i$