Algebravorstufe Beispiele

$4 x^{2} - 48 x = - 164$

Schritt 1

Addiere $164$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{2} - 48 x + 164 = 0$

Schritt 2

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2} - 48 x + 164$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$4 (x^{2}) - 48 x + 164 = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere $4$ aus $- 48 x$ heraus.

$4 (x^{2}) + 4 (- 12 x) + 164 = 0$

Schritt 2.3

Faktorisiere $4$ aus $164$ heraus.

$4 x^{2} + 4 (- 12 x) + 4 \cdot 41 = 0$

Schritt 2.4

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2} + 4 (- 12 x)$ heraus.

$4 (x^{2} - 12 x) + 4 \cdot 41 = 0$

Schritt 2.5

Faktorisiere $4$ aus $4 (x^{2} - 12 x) + 4 \cdot 41$ heraus.

$4 (x^{2} - 12 x + 41) = 0$

Schritt 3

Teile jeden Ausdruck in $4 (x^{2} - 12 x + 41) = 0$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $4 (x^{2} - 12 x + 41) = 0$ durch $4$ .

$\frac{4 (x^{2} - 12 x + 41)}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 (x^{2} - 12 x + 41)}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 3.2.1.2

Dividiere $x^{2} - 12 x + 41$ durch $1$ .

$x^{2} - 12 x + 41 = \frac{0}{4}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Dividiere $0$ durch $4$ .

$x^{2} - 12 x + 41 = 0$

Schritt 4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 5

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 12$ und $c = 41$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 41)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Potenziere $- 12$ mit $2$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 1 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 41$ .

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Schritt 6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $41$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 164}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.3

Subtrahiere $164$ von $144$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{- 20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.4

Schreibe $- 20$ als $- 1 (20)$ um.

$x = \frac{12 \pm \sqrt{- 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (20)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{20}$ um.

$x = \frac{12 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{12 \pm i \cdot \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.7

Schreibe $20$ als $2^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 6.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$x = \frac{12 \pm i \cdot \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{12 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{12 \pm i \cdot (2 \sqrt{5})}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{12 \pm 2 i \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{12 \pm 2 i \sqrt{5}}{2}$

Schritt 6.3

Vereinfache $\frac{12 \pm 2 i \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 6 \pm i \sqrt{5}$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Potenziere $- 12$ mit $2$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 1 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 41$ .

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Schritt 7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $41$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 164}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.3

Subtrahiere $164$ von $144$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{- 20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.4

Schreibe $- 20$ als $- 1 (20)$ um.

$x = \frac{12 \pm \sqrt{- 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (20)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{20}$ um.

$x = \frac{12 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{12 \pm i \cdot \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.7

Schreibe $20$ als $2^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 7.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$x = \frac{12 \pm i \cdot \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{12 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{12 \pm i \cdot (2 \sqrt{5})}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{12 \pm 2 i \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{12 \pm 2 i \sqrt{5}}{2}$

Schritt 7.3

Vereinfache $\frac{12 \pm 2 i \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 6 \pm i \sqrt{5}$

Schritt 7.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = 6 + i \sqrt{5}$

Schritt 8

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1.1

Potenziere $- 12$ mit $2$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 1 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 41$ .

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Schritt 8.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $41$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 164}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.3

Subtrahiere $164$ von $144$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{- 20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.4

Schreibe $- 20$ als $- 1 (20)$ um.

$x = \frac{12 \pm \sqrt{- 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (20)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{20}$ um.

$x = \frac{12 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{12 \pm i \cdot \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.7

Schreibe $20$ als $2^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 8.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$x = \frac{12 \pm i \cdot \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{12 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{12 \pm i \cdot (2 \sqrt{5})}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{12 \pm 2 i \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{12 \pm 2 i \sqrt{5}}{2}$

Schritt 8.3

Vereinfache $\frac{12 \pm 2 i \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 6 \pm i \sqrt{5}$

Schritt 8.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = 6 - i \sqrt{5}$

Schritt 9

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 6 + i \sqrt{5}, 6 - i \sqrt{5}$