Algebravorstufe Beispiele

$8 {(5 x - 1)}^{2} + 2 = - 8 (5 x - 1)$

Schritt 1

Vereinfache $- 8 (5 x - 1)$ .

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Schritt 1.1

Forme um.

$8 {(5 x - 1)}^{2} + 2 = 0 + 0 - 8 (5 x - 1)$

Schritt 1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$8 {(5 x - 1)}^{2} + 2 = - 8 (5 x - 1)$

Schritt 1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$8 {(5 x - 1)}^{2} + 2 = - 8 (5 x) - 8 \cdot - 1$

Schritt 1.4

Multipliziere.

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Schritt 1.4.1

Mutltipliziere $5$ mit $- 8$ .

$8 {(5 x - 1)}^{2} + 2 = - 40 x - 8 \cdot - 1$

Schritt 1.4.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 1$ .

$8 {(5 x - 1)}^{2} + 2 = - 40 x + 8$

Schritt 2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Addiere $40 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$8 {(5 x - 1)}^{2} + 2 + 40 x = 8$

Schritt 2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1

Schreibe ${(5 x - 1)}^{2}$ als $(5 x - 1) (5 x - 1)$ um.

$8 ((5 x - 1) (5 x - 1)) + 2 + 40 x = 8$

Schritt 2.2.2

Multipliziere $(5 x - 1) (5 x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$8 (5 x (5 x - 1) - 1 (5 x - 1)) + 2 + 40 x = 8$

Schritt 2.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$8 (5 x (5 x) + 5 x \cdot - 1 - 1 (5 x - 1)) + 2 + 40 x = 8$

Schritt 2.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$8 (5 x (5 x) + 5 x \cdot - 1 - 1 (5 x) - 1 \cdot - 1) + 2 + 40 x = 8$

Schritt 2.2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$8 (5 \cdot 5 x \cdot x + 5 x \cdot - 1 - 1 (5 x) - 1 \cdot - 1) + 2 + 40 x = 8$

Schritt 2.2.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$8 (5 \cdot 5 (x \cdot x) + 5 x \cdot - 1 - 1 (5 x) - 1 \cdot - 1) + 2 + 40 x = 8$

Schritt 2.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$8 (5 \cdot 5 x^{2} + 5 x \cdot - 1 - 1 (5 x) - 1 \cdot - 1) + 2 + 40 x = 8$

Schritt 2.2.3.1.3

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$8 (25 x^{2} + 5 x \cdot - 1 - 1 (5 x) - 1 \cdot - 1) + 2 + 40 x = 8$

Schritt 2.2.3.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$8 (25 x^{2} - 5 x - 1 (5 x) - 1 \cdot - 1) + 2 + 40 x = 8$

Schritt 2.2.3.1.5

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$8 (25 x^{2} - 5 x - 5 x - 1 \cdot - 1) + 2 + 40 x = 8$

Schritt 2.2.3.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$8 (25 x^{2} - 5 x - 5 x + 1) + 2 + 40 x = 8$

Schritt 2.2.3.2

Subtrahiere $5 x$ von $- 5 x$ .

$8 (25 x^{2} - 10 x + 1) + 2 + 40 x = 8$

Schritt 2.2.4

Wende das Distributivgesetz an.

$8 (25 x^{2}) + 8 (- 10 x) + 8 \cdot 1 + 2 + 40 x = 8$

Schritt 2.2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.2.5.1

Mutltipliziere $25$ mit $8$ .

$200 x^{2} + 8 (- 10 x) + 8 \cdot 1 + 2 + 40 x = 8$

Schritt 2.2.5.2

Mutltipliziere $- 10$ mit $8$ .

$200 x^{2} - 80 x + 8 \cdot 1 + 2 + 40 x = 8$

Schritt 2.2.5.3

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$200 x^{2} - 80 x + 8 + 2 + 40 x = 8$

Schritt 2.3

Addiere $- 80 x$ und $40 x$ .

$200 x^{2} - 40 x + 8 + 2 = 8$

Schritt 2.4

Addiere $8$ und $2$ .

$200 x^{2} - 40 x + 10 = 8$

Schritt 3

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$200 x^{2} - 40 x + 10 - 8 = 0$

Schritt 4

Subtrahiere $8$ von $10$ .

$200 x^{2} - 40 x + 2 = 0$

Schritt 5

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $2$ aus $200 x^{2} - 40 x + 2$ heraus.

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $2$ aus $200 x^{2}$ heraus.

$2 (100 x^{2}) - 40 x + 2 = 0$

Schritt 5.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 40 x$ heraus.

$2 (100 x^{2}) + 2 (- 20 x) + 2 = 0$

Schritt 5.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$2 (100 x^{2}) + 2 (- 20 x) + 2 (1) = 0$

Schritt 5.1.4

Faktorisiere $2$ aus $2 (100 x^{2}) + 2 (- 20 x)$ heraus.

$2 (100 x^{2} - 20 x) + 2 (1) = 0$

Schritt 5.1.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (100 x^{2} - 20 x) + 2 (1)$ heraus.

$2 (100 x^{2} - 20 x + 1) = 0$

Schritt 5.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 5.2.1

Schreibe $100 x^{2}$ als ${(10 x)}^{2}$ um.

$2 ({(10 x)}^{2} - 20 x + 1) = 0$

Schritt 5.2.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$2 ({(10 x)}^{2} - 20 x + 1^{2}) = 0$

Schritt 5.2.3

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$20 x = 2 \cdot (10 x) \cdot 1$

Schritt 5.2.4

Schreibe das Polynom neu.

$2 ({(10 x)}^{2} - 2 \cdot (10 x) \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Schritt 5.2.5

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = 10 x$ und $b = 1$ .

$2 {(10 x - 1)}^{2} = 0$

Schritt 6

Teile jeden Ausdruck in $2 {(10 x - 1)}^{2} = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 6.1

Teile jeden Ausdruck in $2 {(10 x - 1)}^{2} = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 {(10 x - 1)}^{2}}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 {(10 x - 1)}^{2}}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 6.2.1.2

Dividiere ${(10 x - 1)}^{2}$ durch $1$ .

${(10 x - 1)}^{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

${(10 x - 1)}^{2} = 0$

Schritt 7

Setze $10 x - 1$ gleich $0$ .

$10 x - 1 = 0$

Schritt 8

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$10 x = 1$

Schritt 8.2

Teile jeden Ausdruck in $10 x = 1$ durch $10$ und vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Teile jeden Ausdruck in $10 x = 1$ durch $10$ .

$\frac{10 x}{10} = \frac{1}{10}$

Schritt 8.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10$ .

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Schritt 8.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{10 x}{10} = \frac{1}{10}$

Schritt 8.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{10}$