Algebravorstufe Beispiele

$8 {(3 x - 1)}^{2} + 3 = - 14 (3 x - 1)$

Schritt 1

Vereinfache $- 14 (3 x - 1)$ .

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Schritt 1.1

Forme um.

$8 {(3 x - 1)}^{2} + 3 = 0 + 0 - 14 (3 x - 1)$

Schritt 1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$8 {(3 x - 1)}^{2} + 3 = - 14 (3 x - 1)$

Schritt 1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$8 {(3 x - 1)}^{2} + 3 = - 14 (3 x) - 14 \cdot - 1$

Schritt 1.4

Multipliziere.

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Schritt 1.4.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 14$ .

$8 {(3 x - 1)}^{2} + 3 = - 42 x - 14 \cdot - 1$

Schritt 1.4.2

Mutltipliziere $- 14$ mit $- 1$ .

$8 {(3 x - 1)}^{2} + 3 = - 42 x + 14$

Schritt 2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Addiere $42 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$8 {(3 x - 1)}^{2} + 3 + 42 x = 14$

Schritt 2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1

Schreibe ${(3 x - 1)}^{2}$ als $(3 x - 1) (3 x - 1)$ um.

$8 ((3 x - 1) (3 x - 1)) + 3 + 42 x = 14$

Schritt 2.2.2

Multipliziere $(3 x - 1) (3 x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$8 (3 x (3 x - 1) - 1 (3 x - 1)) + 3 + 42 x = 14$

Schritt 2.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$8 (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x - 1)) + 3 + 42 x = 14$

Schritt 2.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$8 (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1) + 3 + 42 x = 14$

Schritt 2.2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$8 (3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1) + 3 + 42 x = 14$

Schritt 2.2.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$8 (3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1) + 3 + 42 x = 14$

Schritt 2.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$8 (3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1) + 3 + 42 x = 14$

Schritt 2.2.3.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$8 (9 x^{2} + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1) + 3 + 42 x = 14$

Schritt 2.2.3.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$8 (9 x^{2} - 3 x - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1) + 3 + 42 x = 14$

Schritt 2.2.3.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$8 (9 x^{2} - 3 x - 3 x - 1 \cdot - 1) + 3 + 42 x = 14$

Schritt 2.2.3.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$8 (9 x^{2} - 3 x - 3 x + 1) + 3 + 42 x = 14$

Schritt 2.2.3.2

Subtrahiere $3 x$ von $- 3 x$ .

$8 (9 x^{2} - 6 x + 1) + 3 + 42 x = 14$

Schritt 2.2.4

Wende das Distributivgesetz an.

$8 (9 x^{2}) + 8 (- 6 x) + 8 \cdot 1 + 3 + 42 x = 14$

Schritt 2.2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.2.5.1

Mutltipliziere $9$ mit $8$ .

$72 x^{2} + 8 (- 6 x) + 8 \cdot 1 + 3 + 42 x = 14$

Schritt 2.2.5.2

Mutltipliziere $- 6$ mit $8$ .

$72 x^{2} - 48 x + 8 \cdot 1 + 3 + 42 x = 14$

Schritt 2.2.5.3

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$72 x^{2} - 48 x + 8 + 3 + 42 x = 14$

Schritt 2.3

Addiere $- 48 x$ und $42 x$ .

$72 x^{2} - 6 x + 8 + 3 = 14$

Schritt 2.4

Addiere $8$ und $3$ .

$72 x^{2} - 6 x + 11 = 14$

Schritt 3

Subtrahiere $14$ von beiden Seiten der Gleichung.

$72 x^{2} - 6 x + 11 - 14 = 0$

Schritt 4

Subtrahiere $14$ von $11$ .

$72 x^{2} - 6 x - 3 = 0$

Schritt 5

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $3$ aus $72 x^{2} - 6 x - 3$ heraus.

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $3$ aus $72 x^{2}$ heraus.

$3 (24 x^{2}) - 6 x - 3 = 0$

Schritt 5.1.2

Faktorisiere $3$ aus $- 6 x$ heraus.

$3 (24 x^{2}) + 3 (- 2 x) - 3 = 0$

Schritt 5.1.3

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$3 (24 x^{2}) + 3 (- 2 x) + 3 (- 1) = 0$

Schritt 5.1.4

Faktorisiere $3$ aus $3 (24 x^{2}) + 3 (- 2 x)$ heraus.

$3 (24 x^{2} - 2 x) + 3 (- 1) = 0$

Schritt 5.1.5

Faktorisiere $3$ aus $3 (24 x^{2} - 2 x) + 3 (- 1)$ heraus.

$3 (24 x^{2} - 2 x - 1) = 0$

Schritt 5.2

Faktorisiere.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 5.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 24 \cdot - 1 = - 24$ und deren Summe gleich $b = - 2$ ist.

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Schritt 5.2.1.1.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 x$ heraus.

$3 (24 x^{2} - 2 x - 1) = 0$

Schritt 5.2.1.1.2

Schreibe $- 2$ um als $4$ plus $- 6$

$3 (24 x^{2} + (4 - 6) x - 1) = 0$

Schritt 5.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 (24 x^{2} + 4 x - 6 x - 1) = 0$

Schritt 5.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 5.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$3 ((24 x^{2} + 4 x) - 6 x - 1) = 0$

Schritt 5.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$3 (4 x (6 x + 1) - (6 x + 1)) = 0$

Schritt 5.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $6 x + 1$ .

$3 ((6 x + 1) (4 x - 1)) = 0$

Schritt 5.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$3 (6 x + 1) (4 x - 1) = 0$

Schritt 6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$6 x + 1 = 0$

$4 x - 1 = 0$

Schritt 7

Setze $6 x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $6 x + 1$ gleich $0$ .

$6 x + 1 = 0$

Schritt 7.2

Löse $6 x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$6 x = - 1$

Schritt 7.2.2

Teile jeden Ausdruck in $6 x = - 1$ durch $6$ und vereinfache.

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Schritt 7.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $6 x = - 1$ durch $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 1}{6}$

Schritt 7.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 7.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 1}{6}$

Schritt 7.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{6}$

Schritt 7.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{6}$

Schritt 8

Setze $4 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Setze $4 x - 1$ gleich $0$ .

$4 x - 1 = 0$

Schritt 8.2

Löse $4 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 8.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = 1$

Schritt 8.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 1$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 8.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 1$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Schritt 8.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 8.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Schritt 8.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{4}$

Schritt 9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $3 (6 x + 1) (4 x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{1}{6}, \frac{1}{4}$