Algebravorstufe Beispiele

$78 = - 2 (x + 3) x$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $- 2 (x + 3) x = 78$ um.

$- 2 (x + 3) x = 78$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $- 2 (x + 3) x = 78$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 (x + 3) x = 78$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 (x + 3) x}{- 2} = \frac{78}{- 2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 (x + 3) x}{- 2} = \frac{78}{- 2}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $(x + 3) x$ durch $1$ .

$(x + 3) x = \frac{78}{- 2}$

Schritt 2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + 3 x = \frac{78}{- 2}$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + 3 x = \frac{78}{- 2}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Dividiere $78$ durch $- 2$ .

$x^{2} + 3 x = - 39$

Schritt 3

Addiere $39$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 3 x + 39 = 0$

Schritt 4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 5

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 3$ und $c = 39$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 39)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 39}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 39$ .

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Schritt 6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 39}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $39$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 156}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.3

Subtrahiere $156$ von $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 147}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.4

Schreibe $- 147$ als $- 1 (147)$ um.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 147}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (147)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{147}$ um.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{147}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{147}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.7

Schreibe $147$ als $7^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 6.1.7.1

Faktorisiere $49$ aus $147$ heraus.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{49 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.7.2

Schreibe $49$ als $7^{2}$ um.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{7^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (7 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.9

Bringe $7$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm 7 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm 7 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 39}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 39$ .

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Schritt 7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 39}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $39$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 156}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.3

Subtrahiere $156$ von $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 147}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.4

Schreibe $- 147$ als $- 1 (147)$ um.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 147}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (147)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{147}$ um.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{147}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{147}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.7

Schreibe $147$ als $7^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 7.1.7.1

Faktorisiere $49$ aus $147$ heraus.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{49 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.7.2

Schreibe $49$ als $7^{2}$ um.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{7^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (7 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.9

Bringe $7$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm 7 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm 7 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 7.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{- 3 + 7 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 7.4

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 3 + 7 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 7.5

Faktorisiere $- 1$ aus $7 i \sqrt{3}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (- 7 i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 7.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (3) - (- 7 i \sqrt{3})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (3 - 7 i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 7.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{3 - 7 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 8

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 39}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 39$ .

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Schritt 8.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 39}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $39$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 156}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.3

Subtrahiere $156$ von $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 147}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.4

Schreibe $- 147$ als $- 1 (147)$ um.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 147}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (147)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{147}$ um.

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{147}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{147}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.7

Schreibe $147$ als $7^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 8.1.7.1

Faktorisiere $49$ aus $147$ heraus.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{49 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.7.2

Schreibe $49$ als $7^{2}$ um.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{7^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (7 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.9

Bringe $7$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm 7 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm 7 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 8.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{- 3 - 7 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 8.4

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - 7 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 8.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 7 i \sqrt{3}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (7 i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 8.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (3) - (7 i \sqrt{3})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (3 + 7 i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 8.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{3 + 7 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 9

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{3 - 7 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 7 i \sqrt{3}}{2}$