Algebravorstufe Beispiele

$7 (r + 3) + 7 (r - 3) = 7 (r + 3) (r - 3)$

Schritt 1

Vereinfache $7 (r + 3) + 7 (r - 3)$ .

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Schritt 1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$7 r + 7 \cdot 3 + 7 (r - 3) = 7 (r + 3) (r - 3)$

Schritt 1.1.2

Mutltipliziere $7$ mit $3$ .

$7 r + 21 + 7 (r - 3) = 7 (r + 3) (r - 3)$

Schritt 1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$7 r + 21 + 7 r + 7 \cdot - 3 = 7 (r + 3) (r - 3)$

Schritt 1.1.4

Mutltipliziere $7$ mit $- 3$ .

$7 r + 21 + 7 r - 21 = 7 (r + 3) (r - 3)$

Schritt 1.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 1.2.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $7 r + 21 + 7 r - 21$ .

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Schritt 1.2.1.1

Subtrahiere $21$ von $21$ .

$7 r + 7 r + 0 = 7 (r + 3) (r - 3)$

Schritt 1.2.1.2

Addiere $7 r + 7 r$ und $0$ .

$7 r + 7 r = 7 (r + 3) (r - 3)$

Schritt 1.2.2

Addiere $7 r$ und $7 r$ .

$14 r = 7 (r + 3) (r - 3)$

Schritt 2

Vereinfache $7 (r + 3) (r - 3)$ .

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Schritt 2.1

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$14 r = (7 r + 7 \cdot 3) (r - 3)$

Schritt 2.1.2

Mutltipliziere $7$ mit $3$ .

$14 r = (7 r + 21) (r - 3)$

Schritt 2.2

Multipliziere $(7 r + 21) (r - 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$14 r = 7 r (r - 3) + 21 (r - 3)$

Schritt 2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$14 r = 7 r \cdot r + 7 r \cdot - 3 + 21 (r - 3)$

Schritt 2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$14 r = 7 r \cdot r + 7 r \cdot - 3 + 21 r + 21 \cdot - 3$

Schritt 2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.1

Multipliziere $r$ mit $r$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.1.1.1

Bewege $r$ .

$14 r = 7 (r \cdot r) + 7 r \cdot - 3 + 21 r + 21 \cdot - 3$

Schritt 2.3.1.1.2

Mutltipliziere $r$ mit $r$ .

$14 r = 7 r^{2} + 7 r \cdot - 3 + 21 r + 21 \cdot - 3$

Schritt 2.3.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $7$ .

$14 r = 7 r^{2} - 21 r + 21 r + 21 \cdot - 3$

Schritt 2.3.1.3

Mutltipliziere $21$ mit $- 3$ .

$14 r = 7 r^{2} - 21 r + 21 r - 63$

Schritt 2.3.2

Addiere $- 21 r$ und $21 r$ .

$14 r = 7 r^{2} + 0 - 63$

Schritt 2.3.3

Addiere $7 r^{2}$ und $0$ .

$14 r = 7 r^{2} - 63$

Schritt 3

Subtrahiere $7 r^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$14 r - 7 r^{2} = - 63$

Schritt 4

Addiere $63$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$14 r - 7 r^{2} + 63 = 0$

Schritt 5

Faktorisiere $- 7$ aus $14 r - 7 r^{2} + 63$ heraus.

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Schritt 5.1

Stelle $14 r$ und $- 7 r^{2}$ um.

$- 7 r^{2} + 14 r + 63 = 0$

Schritt 5.2

Faktorisiere $- 7$ aus $- 7 r^{2}$ heraus.

$- 7 r^{2} + 14 r + 63 = 0$

Schritt 5.3

Faktorisiere $- 7$ aus $14 r$ heraus.

$- 7 r^{2} - 7 (- 2 r) + 63 = 0$

Schritt 5.4

Faktorisiere $- 7$ aus $63$ heraus.

$- 7 r^{2} - 7 (- 2 r) - 7 \cdot - 9 = 0$

Schritt 5.5

Faktorisiere $- 7$ aus $- 7 (r^{2}) - 7 (- 2 r)$ heraus.

$- 7 (r^{2} - 2 r) - 7 \cdot - 9 = 0$

Schritt 5.6

Faktorisiere $- 7$ aus $- 7 (r^{2} - 2 r) - 7 (- 9)$ heraus.

$- 7 (r^{2} - 2 r - 9) = 0$

Schritt 6

Teile jeden Ausdruck in $- 7 (r^{2} - 2 r - 9) = 0$ durch $- 7$ und vereinfache.

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Schritt 6.1

Teile jeden Ausdruck in $- 7 (r^{2} - 2 r - 9) = 0$ durch $- 7$ .

$\frac{- 7 (r^{2} - 2 r - 9)}{- 7} = \frac{0}{- 7}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 7$ .

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Schritt 6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 7 (r^{2} - 2 r - 9)}{- 7} = \frac{0}{- 7}$

Schritt 6.2.1.2

Dividiere $r^{2} - 2 r - 9$ durch $1$ .

$r^{2} - 2 r - 9 = \frac{0}{- 7}$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1

Dividiere $0$ durch $- 7$ .

$r^{2} - 2 r - 9 = 0$

Schritt 7

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 8

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 2$ und $c = - 9$ in die Quadratformel ein und löse nach $r$ auf.

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 9)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$r = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 9}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 9$ .

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Schritt 9.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$r = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 9}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 9$ .

$r = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 36}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.1.3

Addiere $4$ und $36$ .

$r = \frac{2 \pm \sqrt{40}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.1.4

Schreibe $40$ als $2^{2} \cdot 10$ um.

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Schritt 9.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $40$ heraus.

$r = \frac{2 \pm \sqrt{4 (10)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$r = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$r = \frac{2 \pm 2 \sqrt{10}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$r = \frac{2 \pm 2 \sqrt{10}}{2}$

Schritt 9.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 \sqrt{10}}{2}$ .

$r = 1 \pm \sqrt{10}$

Schritt 10

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 10.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$r = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 9}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 9$ .

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Schritt 10.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$r = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 9}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 9$ .

$r = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 36}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.1.3

Addiere $4$ und $36$ .

$r = \frac{2 \pm \sqrt{40}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.1.4

Schreibe $40$ als $2^{2} \cdot 10$ um.

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Schritt 10.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $40$ heraus.

$r = \frac{2 \pm \sqrt{4 (10)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$r = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$r = \frac{2 \pm 2 \sqrt{10}}{2 \cdot 1}$

Schritt 10.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$r = \frac{2 \pm 2 \sqrt{10}}{2}$

Schritt 10.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 \sqrt{10}}{2}$ .

$r = 1 \pm \sqrt{10}$

Schritt 10.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$r = 1 + \sqrt{10}$

Schritt 11

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 11.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$r = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 9}}{2 \cdot 1}$

Schritt 11.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 9$ .

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Schritt 11.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$r = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 9}}{2 \cdot 1}$

Schritt 11.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 9$ .

$r = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 36}}{2 \cdot 1}$

Schritt 11.1.3

Addiere $4$ und $36$ .

$r = \frac{2 \pm \sqrt{40}}{2 \cdot 1}$

Schritt 11.1.4

Schreibe $40$ als $2^{2} \cdot 10$ um.

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Schritt 11.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $40$ heraus.

$r = \frac{2 \pm \sqrt{4 (10)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 11.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$r = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

Schritt 11.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$r = \frac{2 \pm 2 \sqrt{10}}{2 \cdot 1}$

Schritt 11.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$r = \frac{2 \pm 2 \sqrt{10}}{2}$

Schritt 11.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 \sqrt{10}}{2}$ .

$r = 1 \pm \sqrt{10}$

Schritt 11.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$r = 1 - \sqrt{10}$

Schritt 12

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$r = 1 + \sqrt{10}, 1 - \sqrt{10}$

Schritt 13

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$r = 1 + \sqrt{10}, 1 - \sqrt{10}$

Dezimalform:

$r = 4.16227766 \dots, - 2.16227766 \dots$