Algebravorstufe Beispiele

$6 x^{2} + 60 x + 900 = 902$

Schritt 1

Subtrahiere $902$ von beiden Seiten der Gleichung.

$6 x^{2} + 60 x + 900 - 902 = 0$

Schritt 2

Subtrahiere $902$ von $900$ .

$6 x^{2} + 60 x - 2 = 0$

Schritt 3

Faktorisiere $2$ aus $6 x^{2} + 60 x - 2$ heraus.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $2$ aus $6 x^{2}$ heraus.

$2 (3 x^{2}) + 60 x - 2 = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere $2$ aus $60 x$ heraus.

$2 (3 x^{2}) + 2 (30 x) - 2 = 0$

Schritt 3.3

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$2 (3 x^{2}) + 2 (30 x) + 2 (- 1) = 0$

Schritt 3.4

Faktorisiere $2$ aus $2 (3 x^{2}) + 2 (30 x)$ heraus.

$2 (3 x^{2} + 30 x) + 2 (- 1) = 0$

Schritt 3.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (3 x^{2} + 30 x) + 2 (- 1)$ heraus.

$2 (3 x^{2} + 30 x - 1) = 0$

Schritt 4

Teile jeden Ausdruck in $2 (3 x^{2} + 30 x - 1) = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in $2 (3 x^{2} + 30 x - 1) = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 (3 x^{2} + 30 x - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (3 x^{2} + 30 x - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $3 x^{2} + 30 x - 1$ durch $1$ .

$3 x^{2} + 30 x - 1 = \frac{0}{2}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$3 x^{2} + 30 x - 1 = 0$

Schritt 5

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 6

Setze die Werte $a = 3$ , $b = 30$ und $c = - 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 30 \pm \sqrt{30^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 1)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Potenziere $30$ mit $2$ .

$x = \frac{- 30 \pm \sqrt{900 - 4 \cdot 3 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Schritt 7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot - 1$ .

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Schritt 7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{- 30 \pm \sqrt{900 - 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Schritt 7.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 30 \pm \sqrt{900 + 12}}{2 \cdot 3}$

Schritt 7.1.3

Addiere $900$ und $12$ .

$x = \frac{- 30 \pm \sqrt{912}}{2 \cdot 3}$

Schritt 7.1.4

Schreibe $912$ als $4^{2} \cdot 57$ um.

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Schritt 7.1.4.1

Faktorisiere $16$ aus $912$ heraus.

$x = \frac{- 30 \pm \sqrt{16 (57)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 7.1.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{- 30 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 57}}{2 \cdot 3}$

Schritt 7.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 30 \pm 4 \sqrt{57}}{2 \cdot 3}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{- 30 \pm 4 \sqrt{57}}{6}$

Schritt 7.3

Vereinfache $\frac{- 30 \pm 4 \sqrt{57}}{6}$ .

$x = \frac{- 15 \pm 2 \sqrt{57}}{3}$

Schritt 8

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1.1

Potenziere $30$ mit $2$ .

$x = \frac{- 30 \pm \sqrt{900 - 4 \cdot 3 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Schritt 8.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot - 1$ .

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Schritt 8.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{- 30 \pm \sqrt{900 - 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Schritt 8.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 30 \pm \sqrt{900 + 12}}{2 \cdot 3}$

Schritt 8.1.3

Addiere $900$ und $12$ .

$x = \frac{- 30 \pm \sqrt{912}}{2 \cdot 3}$

Schritt 8.1.4

Schreibe $912$ als $4^{2} \cdot 57$ um.

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Schritt 8.1.4.1

Faktorisiere $16$ aus $912$ heraus.

$x = \frac{- 30 \pm \sqrt{16 (57)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 8.1.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{- 30 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 57}}{2 \cdot 3}$

Schritt 8.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 30 \pm 4 \sqrt{57}}{2 \cdot 3}$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{- 30 \pm 4 \sqrt{57}}{6}$

Schritt 8.3

Vereinfache $\frac{- 30 \pm 4 \sqrt{57}}{6}$ .

$x = \frac{- 15 \pm 2 \sqrt{57}}{3}$

Schritt 8.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{- 15 + 2 \sqrt{57}}{3}$

Schritt 8.5

Schreibe $- 15$ als $- 1 (15)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 15 + 2 \sqrt{57}}{3}$

Schritt 8.6

Faktorisiere $- 1$ aus $2 \sqrt{57}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 15 - (- 2 \sqrt{57})}{3}$

Schritt 8.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (15) - (- 2 \sqrt{57})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (15 - 2 \sqrt{57})}{3}$

Schritt 8.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{15 - 2 \sqrt{57}}{3}$

Schritt 9

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1.1

Potenziere $30$ mit $2$ .

$x = \frac{- 30 \pm \sqrt{900 - 4 \cdot 3 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Schritt 9.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot - 1$ .

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Schritt 9.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{- 30 \pm \sqrt{900 - 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Schritt 9.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 30 \pm \sqrt{900 + 12}}{2 \cdot 3}$

Schritt 9.1.3

Addiere $900$ und $12$ .

$x = \frac{- 30 \pm \sqrt{912}}{2 \cdot 3}$

Schritt 9.1.4

Schreibe $912$ als $4^{2} \cdot 57$ um.

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Schritt 9.1.4.1

Faktorisiere $16$ aus $912$ heraus.

$x = \frac{- 30 \pm \sqrt{16 (57)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 9.1.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{- 30 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 57}}{2 \cdot 3}$

Schritt 9.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 30 \pm 4 \sqrt{57}}{2 \cdot 3}$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{- 30 \pm 4 \sqrt{57}}{6}$

Schritt 9.3

Vereinfache $\frac{- 30 \pm 4 \sqrt{57}}{6}$ .

$x = \frac{- 15 \pm 2 \sqrt{57}}{3}$

Schritt 9.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{- 15 - 2 \sqrt{57}}{3}$

Schritt 9.5

Schreibe $- 15$ als $- 1 (15)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 15 - 2 \sqrt{57}}{3}$

Schritt 9.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 \sqrt{57}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 15 - (2 \sqrt{57})}{3}$

Schritt 9.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (15) - (2 \sqrt{57})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (15 + 2 \sqrt{57})}{3}$

Schritt 9.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{15 + 2 \sqrt{57}}{3}$

Schritt 10

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{15 - 2 \sqrt{57}}{3}, - \frac{15 + 2 \sqrt{57}}{3}$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \frac{15 - 2 \sqrt{57}}{3}, - \frac{15 + 2 \sqrt{57}}{3}$

Dezimalform:

$x = 0.03322295 \dots, - 10.03322295 \dots$