Algebravorstufe Beispiele

$52 = (4 x + 1) (x + 1)$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $(4 x + 1) (x + 1) = 52$ um.

$(4 x + 1) (x + 1) = 52$

Schritt 2

Vereinfache $(4 x + 1) (x + 1)$ .

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Schritt 2.1

Multipliziere $(4 x + 1) (x + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x (x + 1) + 1 (x + 1) = 52$

Schritt 2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x \cdot x + 4 x \cdot 1 + 1 (x + 1) = 52$

Schritt 2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x \cdot x + 4 x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1 = 52$

Schritt 2.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.1.1.1

Bewege $x$ .

$4 (x \cdot x) + 4 x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1 = 52$

Schritt 2.2.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$4 x^{2} + 4 x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1 = 52$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4 x^{2} + 4 x + 1 x + 1 \cdot 1 = 52$

Schritt 2.2.1.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$4 x^{2} + 4 x + x + 1 \cdot 1 = 52$

Schritt 2.2.1.4

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$4 x^{2} + 4 x + x + 1 = 52$

Schritt 2.2.2

Addiere $4 x$ und $x$ .

$4 x^{2} + 5 x + 1 = 52$

Schritt 3

Subtrahiere $52$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{2} + 5 x + 1 - 52 = 0$

Schritt 4

Subtrahiere $52$ von $1$ .

$4 x^{2} + 5 x - 51 = 0$

Schritt 5

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 5.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 4 \cdot - 51 = - 204$ und deren Summe gleich $b = 5$ ist.

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x$ heraus.

$4 x^{2} + 5 (x) - 51 = 0$

Schritt 5.1.2

Schreibe $5$ um als $- 12$ plus $17$

$4 x^{2} + (- 12 + 17) x - 51 = 0$

Schritt 5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x^{2} - 12 x + 17 x - 51 = 0$

Schritt 5.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 5.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(4 x^{2} - 12 x) + 17 x - 51 = 0$

Schritt 5.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$4 x (x - 3) + 17 (x - 3) = 0$

Schritt 5.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x - 3$ .

$(x - 3) (4 x + 17) = 0$

Schritt 6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

$4 x + 17 = 0$

Schritt 7

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 7.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 8

Setze $4 x + 17$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Setze $4 x + 17$ gleich $0$ .

$4 x + 17 = 0$

Schritt 8.2

Löse $4 x + 17 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 8.2.1

Subtrahiere $17$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = - 17$

Schritt 8.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = - 17$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 8.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = - 17$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 17}{4}$

Schritt 8.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 8.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 17}{4}$

Schritt 8.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 17}{4}$

Schritt 8.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{17}{4}$

Schritt 9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 3) (4 x + 17) = 0$ wahr machen.

$x = 3, - \frac{17}{4}$