Algebravorstufe Beispiele

$10 x^{2} = x^{4} + 25$

Schritt 1

Subtrahiere $x^{4}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$10 x^{2} - x^{4} = 25$

Schritt 2

Subtrahiere $25$ von beiden Seiten der Gleichung.

$10 x^{2} - x^{4} - 25 = 0$

Schritt 3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $10 x^{2} - x^{4} - 25$ heraus.

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Schritt 3.1.1

Stelle $10 x^{2}$ und $- x^{4}$ um.

$- x^{4} + 10 x^{2} - 25 = 0$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{4}$ heraus.

$- (x^{4}) + 10 x^{2} - 25 = 0$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $10 x^{2}$ heraus.

$- (x^{4}) - (- 10 x^{2}) - 25 = 0$

Schritt 3.1.4

Schreibe $- 25$ als $- 1 (25)$ um.

$- (x^{4}) - (- 10 x^{2}) - 1 \cdot 25 = 0$

Schritt 3.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{4}) - (- 10 x^{2})$ heraus.

$- (x^{4} - 10 x^{2}) - 1 \cdot 25 = 0$

Schritt 3.1.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{4} - 10 x^{2}) - 1 (25)$ heraus.

$- (x^{4} - 10 x^{2} + 25) = 0$

Schritt 3.2

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$- ({(x^{2})}^{2} - 10 x^{2} + 25) = 0$

Schritt 3.3

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$- (u^{2} - 10 u + 25) = 0$

Schritt 3.4

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 3.4.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$- (u^{2} - 10 u + 5^{2}) = 0$

Schritt 3.4.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$10 u = 2 \cdot u \cdot 5$

Schritt 3.4.3

Schreibe das Polynom neu.

$- (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Schritt 3.4.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = u$ und $b = 5$ .

$- {(u - 5)}^{2} = 0$

Schritt 3.5

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$- {(x^{2} - 5)}^{2} = 0$

Schritt 4

Teile jeden Ausdruck in $- {(x^{2} - 5)}^{2} = 0$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in $- {(x^{2} - 5)}^{2} = 0$ durch $- 1$ .

$\frac{- {(x^{2} - 5)}^{2}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{{(x^{2} - 5)}^{2}}{1} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 4.2.2

Dividiere ${(x^{2} - 5)}^{2}$ durch $1$ .

${(x^{2} - 5)}^{2} = \frac{0}{- 1}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Dividiere $0$ durch $- 1$ .

${(x^{2} - 5)}^{2} = 0$

Schritt 5

Setze $x^{2} - 5$ gleich $0$ .

$x^{2} - 5 = 0$

Schritt 6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 5$

Schritt 6.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{5}$

Schritt 6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 6.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{5}$

Schritt 6.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{5}$

Schritt 6.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Dezimalform:

$x = 2.23606797 \dots, - 2.23606797 \dots$