Algebravorstufe Beispiele

$1 + (\frac{4 \sqrt{6}}{3}) = 3 x^{2} + 6 x + 8$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $3 x^{2} + 6 x + 8 = 1 + \frac{4 \sqrt{6}}{3}$ um.

$3 x^{2} + 6 x + 8 = 1 + \frac{4 \sqrt{6}}{3}$

Schritt 2

Bringe alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und vereinfache.

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Schritt 2.1

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{2} + 6 x + 8 - 1 = \frac{4 \sqrt{6}}{3}$

Schritt 2.1.2

Subtrahiere $\frac{4 \sqrt{6}}{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{2} + 6 x + 8 - 1 - \frac{4 \sqrt{6}}{3} = 0$

Schritt 2.2

Subtrahiere $1$ von $8$ .

$3 x^{2} + 6 x + 7 - \frac{4 \sqrt{6}}{3} = 0$

Schritt 3

Multipliziere mit dem Hauptnenner $3$ aus und vereinfache dann.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 (3 x^{2}) + 3 (6 x) + 3 \cdot 7 + 3 (- \frac{4 \sqrt{6}}{3}) = 0$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$9 x^{2} + 3 (6 x) + 3 \cdot 7 + 3 (- \frac{4 \sqrt{6}}{3}) = 0$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $3$ .

$9 x^{2} + 18 x + 3 \cdot 7 + 3 (- \frac{4 \sqrt{6}}{3}) = 0$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $7$ .

$9 x^{2} + 18 x + 21 + 3 (- \frac{4 \sqrt{6}}{3}) = 0$

Schritt 3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{4 \sqrt{6}}{3}$ in den Zähler.

$9 x^{2} + 18 x + 21 + 3 (\frac{- 4 \sqrt{6}}{3}) = 0$

Schritt 3.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$9 x^{2} + 18 x + 21 + 3 (\frac{- 4 \sqrt{6}}{3}) = 0$

Schritt 3.2.4.3

Forme den Ausdruck um.

$9 x^{2} + 18 x + 21 - 4 \sqrt{6} = 0$

Schritt 4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 5

Setze die Werte $a = 9$ , $b = 18$ und $c = 21 - 4 \sqrt{6}$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 18 \pm \sqrt{18^{2} - 4 \cdot (9 \cdot (21 - 4 \sqrt{6}))}}{2 \cdot 9}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Potenziere $18$ mit $2$ .

$x = \frac{- 18 \pm \sqrt{324 - 4 \cdot 9 \cdot (21 - 4 \sqrt{6})}}{2 \cdot 9}$

Schritt 6.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $9$ .

$x = \frac{- 18 \pm \sqrt{324 - 36 \cdot (21 - 4 \sqrt{6})}}{2 \cdot 9}$

Schritt 6.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{- 18 \pm \sqrt{324 - 36 \cdot 21 - 36 (- 4 \sqrt{6})}}{2 \cdot 9}$

Schritt 6.1.4

Mutltipliziere $- 36$ mit $21$ .

$x = \frac{- 18 \pm \sqrt{324 - 756 - 36 (- 4 \sqrt{6})}}{2 \cdot 9}$

Schritt 6.1.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 36$ .

$x = \frac{- 18 \pm \sqrt{324 - 756 + 144 \sqrt{6}}}{2 \cdot 9}$

Schritt 6.1.6

Subtrahiere $756$ von $324$ .

$x = \frac{- 18 \pm \sqrt{- 432 + 144 \sqrt{6}}}{2 \cdot 9}$

Schritt 6.1.7

Schreibe $- 432 + 144 \sqrt{6}$ als $12^{2} (- 3 + \sqrt{6})$ um.

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Schritt 6.1.7.1

Faktorisiere $144$ aus $- 432$ heraus.

$x = \frac{- 18 \pm \sqrt{144 (- 3) + 144 \sqrt{6}}}{2 \cdot 9}$

Schritt 6.1.7.2

Faktorisiere $144$ aus $144 \sqrt{6}$ heraus.

$x = \frac{- 18 \pm \sqrt{144 (- 3) + 144 (\sqrt{6})}}{2 \cdot 9}$

Schritt 6.1.7.3

Faktorisiere $144$ aus $144 (- 3) + 144 (\sqrt{6})$ heraus.

$x = \frac{- 18 \pm \sqrt{144 (- 3 + \sqrt{6})}}{2 \cdot 9}$

Schritt 6.1.7.4

Schreibe $144$ als $12^{2}$ um.

$x = \frac{- 18 \pm \sqrt{12^{2} (- 3 + \sqrt{6})}}{2 \cdot 9}$

Schritt 6.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 18 \pm 12 \sqrt{- 3 + \sqrt{6}}}{2 \cdot 9}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$x = \frac{- 18 \pm 12 \sqrt{- 3 + \sqrt{6}}}{18}$

Schritt 6.3

Vereinfache $\frac{- 18 \pm 12 \sqrt{- 3 + \sqrt{6}}}{18}$ .

$x = \frac{- 3 \pm 2 \sqrt{- 3 + \sqrt{6}}}{3}$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Potenziere $18$ mit $2$ .

$x = \frac{- 18 \pm \sqrt{324 - 4 \cdot 9 \cdot (21 - 4 \sqrt{6})}}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $9$ .

$x = \frac{- 18 \pm \sqrt{324 - 36 \cdot (21 - 4 \sqrt{6})}}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{- 18 \pm \sqrt{324 - 36 \cdot 21 - 36 (- 4 \sqrt{6})}}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.1.4

Mutltipliziere $- 36$ mit $21$ .

$x = \frac{- 18 \pm \sqrt{324 - 756 - 36 (- 4 \sqrt{6})}}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.1.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 36$ .

$x = \frac{- 18 \pm \sqrt{324 - 756 + 144 \sqrt{6}}}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.1.6

Subtrahiere $756$ von $324$ .

$x = \frac{- 18 \pm \sqrt{- 432 + 144 \sqrt{6}}}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.1.7

Schreibe $- 432 + 144 \sqrt{6}$ als $12^{2} (- 3 + \sqrt{6})$ um.

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Schritt 7.1.7.1

Faktorisiere $144$ aus $- 432$ heraus.

$x = \frac{- 18 \pm \sqrt{144 (- 3) + 144 \sqrt{6}}}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.1.7.2

Faktorisiere $144$ aus $144 \sqrt{6}$ heraus.

$x = \frac{- 18 \pm \sqrt{144 (- 3) + 144 (\sqrt{6})}}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.1.7.3

Faktorisiere $144$ aus $144 (- 3) + 144 (\sqrt{6})$ heraus.

$x = \frac{- 18 \pm \sqrt{144 (- 3 + \sqrt{6})}}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.1.7.4

Schreibe $144$ als $12^{2}$ um.

$x = \frac{- 18 \pm \sqrt{12^{2} (- 3 + \sqrt{6})}}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 18 \pm 12 \sqrt{- 3 + \sqrt{6}}}{2 \cdot 9}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$x = \frac{- 18 \pm 12 \sqrt{- 3 + \sqrt{6}}}{18}$

Schritt 7.3

Vereinfache $\frac{- 18 \pm 12 \sqrt{- 3 + \sqrt{6}}}{18}$ .

$x = \frac{- 3 \pm 2 \sqrt{- 3 + \sqrt{6}}}{3}$

Schritt 7.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{- 3 + 2 \sqrt{- 3 + \sqrt{6}}}{3}$

Schritt 7.5

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 3 + 2 \sqrt{- 3 + \sqrt{6}}}{3}$

Schritt 7.6

Faktorisiere $- 1$ aus $2 \sqrt{- 3 + \sqrt{6}}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (- 2 \sqrt{- 3 + \sqrt{6}})}{3}$

Schritt 7.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (3) - (- 2 \sqrt{- 3 + \sqrt{6}})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (3 - 2 \sqrt{- 3 + \sqrt{6}})}{3}$

Schritt 7.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{3 - 2 \sqrt{- 3 + \sqrt{6}}}{3}$

Schritt 8

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1.1

Potenziere $18$ mit $2$ .

$x = \frac{- 18 \pm \sqrt{324 - 4 \cdot 9 \cdot (21 - 4 \sqrt{6})}}{2 \cdot 9}$

Schritt 8.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $9$ .

$x = \frac{- 18 \pm \sqrt{324 - 36 \cdot (21 - 4 \sqrt{6})}}{2 \cdot 9}$

Schritt 8.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{- 18 \pm \sqrt{324 - 36 \cdot 21 - 36 (- 4 \sqrt{6})}}{2 \cdot 9}$

Schritt 8.1.4

Mutltipliziere $- 36$ mit $21$ .

$x = \frac{- 18 \pm \sqrt{324 - 756 - 36 (- 4 \sqrt{6})}}{2 \cdot 9}$

Schritt 8.1.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 36$ .

$x = \frac{- 18 \pm \sqrt{324 - 756 + 144 \sqrt{6}}}{2 \cdot 9}$

Schritt 8.1.6

Subtrahiere $756$ von $324$ .

$x = \frac{- 18 \pm \sqrt{- 432 + 144 \sqrt{6}}}{2 \cdot 9}$

Schritt 8.1.7

Schreibe $- 432 + 144 \sqrt{6}$ als $12^{2} (- 3 + \sqrt{6})$ um.

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Schritt 8.1.7.1

Faktorisiere $144$ aus $- 432$ heraus.

$x = \frac{- 18 \pm \sqrt{144 (- 3) + 144 \sqrt{6}}}{2 \cdot 9}$

Schritt 8.1.7.2

Faktorisiere $144$ aus $144 \sqrt{6}$ heraus.

$x = \frac{- 18 \pm \sqrt{144 (- 3) + 144 (\sqrt{6})}}{2 \cdot 9}$

Schritt 8.1.7.3

Faktorisiere $144$ aus $144 (- 3) + 144 (\sqrt{6})$ heraus.

$x = \frac{- 18 \pm \sqrt{144 (- 3 + \sqrt{6})}}{2 \cdot 9}$

Schritt 8.1.7.4

Schreibe $144$ als $12^{2}$ um.

$x = \frac{- 18 \pm \sqrt{12^{2} (- 3 + \sqrt{6})}}{2 \cdot 9}$

Schritt 8.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 18 \pm 12 \sqrt{- 3 + \sqrt{6}}}{2 \cdot 9}$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$x = \frac{- 18 \pm 12 \sqrt{- 3 + \sqrt{6}}}{18}$

Schritt 8.3

Vereinfache $\frac{- 18 \pm 12 \sqrt{- 3 + \sqrt{6}}}{18}$ .

$x = \frac{- 3 \pm 2 \sqrt{- 3 + \sqrt{6}}}{3}$

Schritt 8.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{- 3 - 2 \sqrt{- 3 + \sqrt{6}}}{3}$

Schritt 8.5

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - 2 \sqrt{- 3 + \sqrt{6}}}{3}$

Schritt 8.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 \sqrt{- 3 + \sqrt{6}}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (2 \sqrt{- 3 + \sqrt{6}})}{3}$

Schritt 8.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (3) - (2 \sqrt{- 3 + \sqrt{6}})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (3 + 2 \sqrt{- 3 + \sqrt{6}})}{3}$

Schritt 8.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{3 + 2 \sqrt{- 3 + \sqrt{6}}}{3}$

Schritt 9

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{3 - 2 \sqrt{- 3 + \sqrt{6}}}{3}, - \frac{3 + 2 \sqrt{- 3 + \sqrt{6}}}{3}$