Algebravorstufe Beispiele

$25 x^{2} + 20 x + 16 = 0$

Schritt 1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2

Setze die Werte $a = 25$ , $b = 20$ und $c = 16$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 20 \pm \sqrt{20^{2} - 4 \cdot (25 \cdot 16)}}{2 \cdot 25}$

Schritt 3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Potenziere $20$ mit $2$ .

$x = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot 25 \cdot 16}}{2 \cdot 25}$

Schritt 3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 25 \cdot 16$ .

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Schritt 3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $25$ .

$x = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 100 \cdot 16}}{2 \cdot 25}$

Schritt 3.1.2.2

Mutltipliziere $- 100$ mit $16$ .

$x = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 1600}}{2 \cdot 25}$

Schritt 3.1.3

Subtrahiere $1600$ von $400$ .

$x = \frac{- 20 \pm \sqrt{- 1200}}{2 \cdot 25}$

Schritt 3.1.4

Schreibe $- 1200$ als $- 1 (1200)$ um.

$x = \frac{- 20 \pm \sqrt{- 1 \cdot 1200}}{2 \cdot 25}$

Schritt 3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (1200)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1200}$ um.

$x = \frac{- 20 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1200}}{2 \cdot 25}$

Schritt 3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 20 \pm i \cdot \sqrt{1200}}{2 \cdot 25}$

Schritt 3.1.7

Schreibe $1200$ als $20^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 3.1.7.1

Faktorisiere $400$ aus $1200$ heraus.

$x = \frac{- 20 \pm i \cdot \sqrt{400 (3)}}{2 \cdot 25}$

Schritt 3.1.7.2

Schreibe $400$ als $20^{2}$ um.

$x = \frac{- 20 \pm i \cdot \sqrt{20^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 25}$

Schritt 3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 20 \pm i \cdot (20 \sqrt{3})}{2 \cdot 25}$

Schritt 3.1.9

Bringe $20$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 20 \pm 20 i \sqrt{3}}{2 \cdot 25}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $2$ mit $25$ .

$x = \frac{- 20 \pm 20 i \sqrt{3}}{50}$

Schritt 3.3

Vereinfache $\frac{- 20 \pm 20 i \sqrt{3}}{50}$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{5}$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Potenziere $20$ mit $2$ .

$x = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot 25 \cdot 16}}{2 \cdot 25}$

Schritt 4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 25 \cdot 16$ .

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $25$ .

$x = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 100 \cdot 16}}{2 \cdot 25}$

Schritt 4.1.2.2

Mutltipliziere $- 100$ mit $16$ .

$x = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 1600}}{2 \cdot 25}$

Schritt 4.1.3

Subtrahiere $1600$ von $400$ .

$x = \frac{- 20 \pm \sqrt{- 1200}}{2 \cdot 25}$

Schritt 4.1.4

Schreibe $- 1200$ als $- 1 (1200)$ um.

$x = \frac{- 20 \pm \sqrt{- 1 \cdot 1200}}{2 \cdot 25}$

Schritt 4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (1200)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1200}$ um.

$x = \frac{- 20 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1200}}{2 \cdot 25}$

Schritt 4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 20 \pm i \cdot \sqrt{1200}}{2 \cdot 25}$

Schritt 4.1.7

Schreibe $1200$ als $20^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 4.1.7.1

Faktorisiere $400$ aus $1200$ heraus.

$x = \frac{- 20 \pm i \cdot \sqrt{400 (3)}}{2 \cdot 25}$

Schritt 4.1.7.2

Schreibe $400$ als $20^{2}$ um.

$x = \frac{- 20 \pm i \cdot \sqrt{20^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 25}$

Schritt 4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 20 \pm i \cdot (20 \sqrt{3})}{2 \cdot 25}$

Schritt 4.1.9

Bringe $20$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 20 \pm 20 i \sqrt{3}}{2 \cdot 25}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $2$ mit $25$ .

$x = \frac{- 20 \pm 20 i \sqrt{3}}{50}$

Schritt 4.3

Vereinfache $\frac{- 20 \pm 20 i \sqrt{3}}{50}$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{5}$

Schritt 4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{- 2 + 2 i \sqrt{3}}{5}$

Schritt 4.5

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 2 + 2 i \sqrt{3}}{5}$

Schritt 4.6

Faktorisiere $- 1$ aus $2 i \sqrt{3}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 2 - (- 2 i \sqrt{3})}{5}$

Schritt 4.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (2) - (- 2 i \sqrt{3})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (2 - 2 i \sqrt{3})}{5}$

Schritt 4.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{2 - 2 i \sqrt{3}}{5}$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Potenziere $20$ mit $2$ .

$x = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot 25 \cdot 16}}{2 \cdot 25}$

Schritt 5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 25 \cdot 16$ .

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Schritt 5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $25$ .

$x = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 100 \cdot 16}}{2 \cdot 25}$

Schritt 5.1.2.2

Mutltipliziere $- 100$ mit $16$ .

$x = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 1600}}{2 \cdot 25}$

Schritt 5.1.3

Subtrahiere $1600$ von $400$ .

$x = \frac{- 20 \pm \sqrt{- 1200}}{2 \cdot 25}$

Schritt 5.1.4

Schreibe $- 1200$ als $- 1 (1200)$ um.

$x = \frac{- 20 \pm \sqrt{- 1 \cdot 1200}}{2 \cdot 25}$

Schritt 5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (1200)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1200}$ um.

$x = \frac{- 20 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1200}}{2 \cdot 25}$

Schritt 5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 20 \pm i \cdot \sqrt{1200}}{2 \cdot 25}$

Schritt 5.1.7

Schreibe $1200$ als $20^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 5.1.7.1

Faktorisiere $400$ aus $1200$ heraus.

$x = \frac{- 20 \pm i \cdot \sqrt{400 (3)}}{2 \cdot 25}$

Schritt 5.1.7.2

Schreibe $400$ als $20^{2}$ um.

$x = \frac{- 20 \pm i \cdot \sqrt{20^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 25}$

Schritt 5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 20 \pm i \cdot (20 \sqrt{3})}{2 \cdot 25}$

Schritt 5.1.9

Bringe $20$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 20 \pm 20 i \sqrt{3}}{2 \cdot 25}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $25$ .

$x = \frac{- 20 \pm 20 i \sqrt{3}}{50}$

Schritt 5.3

Vereinfache $\frac{- 20 \pm 20 i \sqrt{3}}{50}$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{5}$

Schritt 5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{- 2 - 2 i \sqrt{3}}{5}$

Schritt 5.5

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 2 - 2 i \sqrt{3}}{5}$

Schritt 5.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 i \sqrt{3}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 2 - (2 i \sqrt{3})}{5}$

Schritt 5.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (2) - (2 i \sqrt{3})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (2 + 2 i \sqrt{3})}{5}$

Schritt 5.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{2 + 2 i \sqrt{3}}{5}$

Schritt 6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{2 - 2 i \sqrt{3}}{5}, - \frac{2 + 2 i \sqrt{3}}{5}$