Algebravorstufe Beispiele

$20 = 30 x - 5 x^{2}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $30 x - 5 x^{2} = 20$ um.

$30 x - 5 x^{2} = 20$

Schritt 2

Subtrahiere $20$ von beiden Seiten der Gleichung.

$30 x - 5 x^{2} - 20 = 0$

Schritt 3

Faktorisiere $- 5$ aus $30 x - 5 x^{2} - 20$ heraus.

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Schritt 3.1

Stelle $30 x$ und $- 5 x^{2}$ um.

$- 5 x^{2} + 30 x - 20 = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere $- 5$ aus $- 5 x^{2}$ heraus.

$- 5 x^{2} + 30 x - 20 = 0$

Schritt 3.3

Faktorisiere $- 5$ aus $30 x$ heraus.

$- 5 x^{2} - 5 (- 6 x) - 20 = 0$

Schritt 3.4

Faktorisiere $- 5$ aus $- 20$ heraus.

$- 5 x^{2} - 5 (- 6 x) - 5 \cdot 4 = 0$

Schritt 3.5

Faktorisiere $- 5$ aus $- 5 (x^{2}) - 5 (- 6 x)$ heraus.

$- 5 (x^{2} - 6 x) - 5 \cdot 4 = 0$

Schritt 3.6

Faktorisiere $- 5$ aus $- 5 (x^{2} - 6 x) - 5 (4)$ heraus.

$- 5 (x^{2} - 6 x + 4) = 0$

Schritt 4

Teile jeden Ausdruck in $- 5 (x^{2} - 6 x + 4) = 0$ durch $- 5$ und vereinfache.

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Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in $- 5 (x^{2} - 6 x + 4) = 0$ durch $- 5$ .

$\frac{- 5 (x^{2} - 6 x + 4)}{- 5} = \frac{0}{- 5}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 5$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 5 (x^{2} - 6 x + 4)}{- 5} = \frac{0}{- 5}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $x^{2} - 6 x + 4$ durch $1$ .

$x^{2} - 6 x + 4 = \frac{0}{- 5}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Dividiere $0$ durch $- 5$ .

$x^{2} - 6 x + 4 = 0$

Schritt 5

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 6

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 6$ und $c = 4$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Schritt 7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.3

Subtrahiere $16$ von $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.4

Schreibe $20$ als $2^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 7.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Schritt 7.3

Vereinfache $\frac{6 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 3 \pm \sqrt{5}$

Schritt 8

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1.1

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Schritt 8.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.3

Subtrahiere $16$ von $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.4

Schreibe $20$ als $2^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 8.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Schritt 8.3

Vereinfache $\frac{6 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 3 \pm \sqrt{5}$

Schritt 8.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = 3 + \sqrt{5}$

Schritt 9

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1.1

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Schritt 9.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.1.3

Subtrahiere $16$ von $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.1.4

Schreibe $20$ als $2^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 9.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Schritt 9.3

Vereinfache $\frac{6 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 3 \pm \sqrt{5}$

Schritt 9.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = 3 - \sqrt{5}$

Schritt 10

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 3 + \sqrt{5}, 3 - \sqrt{5}$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = 3 + \sqrt{5}, 3 - \sqrt{5}$

Dezimalform:

$x = 5.23606797 \dots, 0.76393202 \dots$