Algebravorstufe Beispiele

$20 x^{5} = 125 x$

Schritt 1

Subtrahiere $125 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$20 x^{5} - 125 x = 0$

Schritt 2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $5 x$ aus $20 x^{5} - 125 x$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $5 x$ aus $20 x^{5}$ heraus.

$5 x (4 x^{4}) - 125 x = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $5 x$ aus $- 125 x$ heraus.

$5 x (4 x^{4}) + 5 x (- 25) = 0$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $5 x$ aus $5 x (4 x^{4}) + 5 x (- 25)$ heraus.

$5 x (4 x^{4} - 25) = 0$

Schritt 2.2

Schreibe $4 x^{4}$ als ${(2 x^{2})}^{2}$ um.

$5 x ({(2 x^{2})}^{2} - 25) = 0$

Schritt 2.3

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$5 x ({(2 x^{2})}^{2} - 5^{2}) = 0$

Schritt 2.4

Faktorisiere.

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Schritt 2.4.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2 x^{2}$ und $b = 5$ .

$5 x ((2 x^{2} + 5) (2 x^{2} - 5)) = 0$

Schritt 2.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$5 x (2 x^{2} + 5) (2 x^{2} - 5) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$2 x^{2} + 5 = 0$

$2 x^{2} - 5 = 0$

Schritt 4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 5

Setze $2 x^{2} + 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $2 x^{2} + 5$ gleich $0$ .

$2 x^{2} + 5 = 0$

Schritt 5.2

Löse $2 x^{2} + 5 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} = - 5$

Schritt 5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x^{2} = - 5$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x^{2} = - 5$ durch $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{- 5}{2}$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{- 5}{2}$

Schritt 5.2.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 5}{2}$

Schritt 5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{2} = - \frac{5}{2}$

Schritt 5.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{5}{2}}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache $\pm \sqrt{- \frac{5}{2}}$ .

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Schritt 5.2.4.1

Schreibe $- 1$ als $i^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{5}{2}}$

Schritt 5.2.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm i \sqrt{\frac{5}{2}}$

Schritt 5.2.4.3

Schreibe $\sqrt{\frac{5}{2}}$ als $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$ um.

$x = \pm i \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$

Schritt 5.2.4.4

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Schritt 5.2.4.5

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.4.5.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 5.2.4.5.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Schritt 5.2.4.5.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Schritt 5.2.4.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 5.2.4.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 5.2.4.5.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 5.2.4.5.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 5.2.4.5.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 5.2.4.5.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.2.4.5.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.4.5.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.2.4.5.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Schritt 5.2.4.5.6.5

Berechne den Exponenten.

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2}$

Schritt 5.2.4.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.4.6.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$x = \pm i \frac{\sqrt{5 \cdot 2}}{2}$

Schritt 5.2.4.6.2

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{10}}{2}$

Schritt 5.2.4.7

Kombiniere $i$ und $\frac{\sqrt{10}}{2}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{10}}{2}$

Schritt 5.2.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.2.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{i \sqrt{10}}{2}$

Schritt 5.2.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{i \sqrt{10}}{2}$

Schritt 5.2.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{i \sqrt{10}}{2}, - \frac{i \sqrt{10}}{2}$

Schritt 6

Setze $2 x^{2} - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $2 x^{2} - 5$ gleich $0$ .

$2 x^{2} - 5 = 0$

Schritt 6.2

Löse $2 x^{2} - 5 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} = 5$

Schritt 6.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x^{2} = 5$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x^{2} = 5$ durch $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{5}{2}$

Schritt 6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{5}{2}$

Schritt 6.2.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{5}{2}$

Schritt 6.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{5}{2}}$

Schritt 6.2.4

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{5}{2}}$ .

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Schritt 6.2.4.1

Schreibe $\sqrt{\frac{5}{2}}$ als $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$

Schritt 6.2.4.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 6.2.4.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.4.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 6.2.4.3.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Schritt 6.2.4.3.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Schritt 6.2.4.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 6.2.4.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 6.2.4.3.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 6.2.4.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 6.2.4.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 6.2.4.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.2.4.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.4.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.2.4.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Schritt 6.2.4.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2}$

Schritt 6.2.4.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.4.4.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$x = \pm \frac{\sqrt{5 \cdot 2}}{2}$

Schritt 6.2.4.4.2

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{10}}{2}$

Schritt 6.2.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 6.2.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{\sqrt{10}}{2}$

Schritt 6.2.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{\sqrt{10}}{2}$

Schritt 6.2.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{\sqrt{10}}{2}, - \frac{\sqrt{10}}{2}$

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $5 x (2 x^{2} + 5) (2 x^{2} - 5) = 0$ wahr machen.

$x = 0, \frac{i \sqrt{10}}{2}, - \frac{i \sqrt{10}}{2}, \frac{\sqrt{10}}{2}, - \frac{\sqrt{10}}{2}$