Algebravorstufe Beispiele

$2 z^{2} - 2 z - \frac{143}{2} = 0$

Schritt 1

Multipliziere mit dem Hauptnenner $2$ aus und vereinfache dann.

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Schritt 1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (2 z^{2}) + 2 (- 2 z) + 2 (- \frac{143}{2}) = 0$

Schritt 1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 z^{2} + 2 (- 2 z) + 2 (- \frac{143}{2}) = 0$

Schritt 1.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$4 z^{2} - 4 z + 2 (- \frac{143}{2}) = 0$

Schritt 1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{143}{2}$ in den Zähler.

$4 z^{2} - 4 z + 2 (\frac{- 143}{2}) = 0$

Schritt 1.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 z^{2} - 4 z + 2 (\frac{- 143}{2}) = 0$

Schritt 1.2.3.3

Forme den Ausdruck um.

$4 z^{2} - 4 z - 143 = 0$

Schritt 2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3

Setze die Werte $a = 4$ , $b = - 4$ und $c = - 143$ in die Quadratformel ein und löse nach $z$ auf.

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot - 143)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$z = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 4 \cdot - 143}}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 4 \cdot - 143$ .

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$z = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 16 \cdot - 143}}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.1.2.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 143$ .

$z = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 2288}}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.1.3

Addiere $16$ und $2288$ .

$z = \frac{4 \pm \sqrt{2304}}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.1.4

Schreibe $2304$ als $48^{2}$ um.

$z = \frac{4 \pm \sqrt{48^{2}}}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$z = \frac{4 \pm 48}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$z = \frac{4 \pm 48}{8}$

Schritt 4.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 48}{8}$ .

$z = \frac{1 \pm 12}{2}$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$z = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 4 \cdot - 143}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 4 \cdot - 143$ .

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Schritt 5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$z = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 16 \cdot - 143}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.2.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 143$ .

$z = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 2288}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.3

Addiere $16$ und $2288$ .

$z = \frac{4 \pm \sqrt{2304}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.4

Schreibe $2304$ als $48^{2}$ um.

$z = \frac{4 \pm \sqrt{48^{2}}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$z = \frac{4 \pm 48}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$z = \frac{4 \pm 48}{8}$

Schritt 5.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 48}{8}$ .

$z = \frac{1 \pm 12}{2}$

Schritt 5.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$z = \frac{1 + 12}{2}$

Schritt 5.5

Addiere $1$ und $12$ .

$z = \frac{13}{2}$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$z = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 4 \cdot - 143}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 4 \cdot - 143$ .

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Schritt 6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$z = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 16 \cdot - 143}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.1.2.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 143$ .

$z = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 2288}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.1.3

Addiere $16$ und $2288$ .

$z = \frac{4 \pm \sqrt{2304}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.1.4

Schreibe $2304$ als $48^{2}$ um.

$z = \frac{4 \pm \sqrt{48^{2}}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$z = \frac{4 \pm 48}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$z = \frac{4 \pm 48}{8}$

Schritt 6.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 48}{8}$ .

$z = \frac{1 \pm 12}{2}$

Schritt 6.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$z = \frac{1 - 12}{2}$

Schritt 6.5

Subtrahiere $12$ von $1$ .

$z = \frac{- 11}{2}$

Schritt 6.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$z = - \frac{11}{2}$

Schritt 7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$z = \frac{13}{2}, - \frac{11}{2}$