Algebravorstufe Beispiele

$0.5 = 500 x^{2} + 20 x + 600$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $500 x^{2} + 20 x + 600 = 0.5$ um.

$500 x^{2} + 20 x + 600 = 0.5$

Schritt 2

Subtrahiere $0.5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$500 x^{2} + 20 x + 600 - 0.5 = 0$

Schritt 3

Subtrahiere $0.5$ von $600$ .

$500 x^{2} + 20 x + 599.5 = 0$

Schritt 4

Faktorisiere $0.5$ aus $500 x^{2} + 20 x + 599.5$ heraus.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $0.5$ aus $500 x^{2}$ heraus.

$0.5 (1000 x^{2}) + 20 x + 599.5 = 0$

Schritt 4.2

Faktorisiere $0.5$ aus $20 x$ heraus.

$0.5 (1000 x^{2}) + 0.5 (40 x) + 599.5 = 0$

Schritt 4.3

Faktorisiere $0.5$ aus $599.5$ heraus.

$0.5 (1000 x^{2}) + 0.5 (40 x) + 0.5 (1199) = 0$

Schritt 4.4

Faktorisiere $0.5$ aus $0.5 (1000 x^{2}) + 0.5 (40 x)$ heraus.

$0.5 (1000 x^{2} + 40 x) + 0.5 (1199) = 0$

Schritt 4.5

Faktorisiere $0.5$ aus $0.5 (1000 x^{2} + 40 x) + 0.5 (1199)$ heraus.

$0.5 (1000 x^{2} + 40 x + 1199) = 0$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $0.5 (1000 x^{2} + 40 x + 1199) = 0$ durch $0.5$ und vereinfache.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $0.5 (1000 x^{2} + 40 x + 1199) = 0$ durch $0.5$ .

$\frac{0.5 (1000 x^{2} + 40 x + 1199)}{0.5} = \frac{0}{0.5}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $0.5$ .

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{0.5 (1000 x^{2} + 40 x + 1199)}{0.5} = \frac{0}{0.5}$

Schritt 5.2.1.2

Dividiere $1000 x^{2} + 40 x + 1199$ durch $1$ .

$1000 x^{2} + 40 x + 1199 = \frac{0}{0.5}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Dividiere $0$ durch $0.5$ .

$1000 x^{2} + 40 x + 1199 = 0$

Schritt 6

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 7

Setze die Werte $a = 1000$ , $b = 40$ und $c = 1199$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 40 \pm \sqrt{40^{2} - 4 \cdot (1000 \cdot 1199)}}{2 \cdot 1000}$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1.1

Potenziere $40$ mit $2$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 - 4 \cdot 1000 \cdot 1199}}{2 \cdot 1000}$

Schritt 8.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1000 \cdot 1199$ .

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Schritt 8.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1000$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 - 4000 \cdot 1199}}{2 \cdot 1000}$

Schritt 8.1.2.2

Mutltipliziere $- 4000$ mit $1199$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 - 4796000}}{2 \cdot 1000}$

Schritt 8.1.3

Subtrahiere $4796000$ von $1600$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{- 4794400}}{2 \cdot 1000}$

Schritt 8.1.4

Schreibe $- 4794400$ als $- 1 (4794400)$ um.

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4794400}}{2 \cdot 1000}$

Schritt 8.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (4794400)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4794400}$ um.

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4794400}}{2 \cdot 1000}$

Schritt 8.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 40 \pm i \cdot \sqrt{4794400}}{2 \cdot 1000}$

Schritt 8.1.7

Schreibe $4794400$ als $20^{2} \cdot 11986$ um.

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Schritt 8.1.7.1

Faktorisiere $400$ aus $4794400$ heraus.

$x = \frac{- 40 \pm i \cdot \sqrt{400 (11986)}}{2 \cdot 1000}$

Schritt 8.1.7.2

Schreibe $400$ als $20^{2}$ um.

$x = \frac{- 40 \pm i \cdot \sqrt{20^{2} \cdot 11986}}{2 \cdot 1000}$

Schritt 8.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 40 \pm i \cdot (20 \sqrt{11986})}{2 \cdot 1000}$

Schritt 8.1.9

Bringe $20$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 40 \pm 20 i \sqrt{11986}}{2 \cdot 1000}$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $2$ mit $1000$ .

$x = \frac{- 40 \pm 20 i \sqrt{11986}}{2000}$

Schritt 8.3

Vereinfache $\frac{- 40 \pm 20 i \sqrt{11986}}{2000}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \sqrt{11986}}{100}$

Schritt 9

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1.1

Potenziere $40$ mit $2$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 - 4 \cdot 1000 \cdot 1199}}{2 \cdot 1000}$

Schritt 9.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1000 \cdot 1199$ .

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Schritt 9.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1000$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 - 4000 \cdot 1199}}{2 \cdot 1000}$

Schritt 9.1.2.2

Mutltipliziere $- 4000$ mit $1199$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 - 4796000}}{2 \cdot 1000}$

Schritt 9.1.3

Subtrahiere $4796000$ von $1600$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{- 4794400}}{2 \cdot 1000}$

Schritt 9.1.4

Schreibe $- 4794400$ als $- 1 (4794400)$ um.

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4794400}}{2 \cdot 1000}$

Schritt 9.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (4794400)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4794400}$ um.

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4794400}}{2 \cdot 1000}$

Schritt 9.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 40 \pm i \cdot \sqrt{4794400}}{2 \cdot 1000}$

Schritt 9.1.7

Schreibe $4794400$ als $20^{2} \cdot 11986$ um.

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Schritt 9.1.7.1

Faktorisiere $400$ aus $4794400$ heraus.

$x = \frac{- 40 \pm i \cdot \sqrt{400 (11986)}}{2 \cdot 1000}$

Schritt 9.1.7.2

Schreibe $400$ als $20^{2}$ um.

$x = \frac{- 40 \pm i \cdot \sqrt{20^{2} \cdot 11986}}{2 \cdot 1000}$

Schritt 9.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 40 \pm i \cdot (20 \sqrt{11986})}{2 \cdot 1000}$

Schritt 9.1.9

Bringe $20$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 40 \pm 20 i \sqrt{11986}}{2 \cdot 1000}$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $2$ mit $1000$ .

$x = \frac{- 40 \pm 20 i \sqrt{11986}}{2000}$

Schritt 9.3

Vereinfache $\frac{- 40 \pm 20 i \sqrt{11986}}{2000}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \sqrt{11986}}{100}$

Schritt 9.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{- 2 + i \sqrt{11986}}{100}$

Schritt 9.5

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 2 + i \sqrt{11986}}{100}$

Schritt 9.6

Faktorisiere $- 1$ aus $i \sqrt{11986}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 2 - (- i \sqrt{11986})}{100}$

Schritt 9.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (2) - (- i \sqrt{11986})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (2 - i \sqrt{11986})}{100}$

Schritt 9.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{2 - i \sqrt{11986}}{100}$

Schritt 10

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 10.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.1.1

Potenziere $40$ mit $2$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 - 4 \cdot 1000 \cdot 1199}}{2 \cdot 1000}$

Schritt 10.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1000 \cdot 1199$ .

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Schritt 10.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1000$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 - 4000 \cdot 1199}}{2 \cdot 1000}$

Schritt 10.1.2.2

Mutltipliziere $- 4000$ mit $1199$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 - 4796000}}{2 \cdot 1000}$

Schritt 10.1.3

Subtrahiere $4796000$ von $1600$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{- 4794400}}{2 \cdot 1000}$

Schritt 10.1.4

Schreibe $- 4794400$ als $- 1 (4794400)$ um.

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4794400}}{2 \cdot 1000}$

Schritt 10.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (4794400)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4794400}$ um.

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4794400}}{2 \cdot 1000}$

Schritt 10.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 40 \pm i \cdot \sqrt{4794400}}{2 \cdot 1000}$

Schritt 10.1.7

Schreibe $4794400$ als $20^{2} \cdot 11986$ um.

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Schritt 10.1.7.1

Faktorisiere $400$ aus $4794400$ heraus.

$x = \frac{- 40 \pm i \cdot \sqrt{400 (11986)}}{2 \cdot 1000}$

Schritt 10.1.7.2

Schreibe $400$ als $20^{2}$ um.

$x = \frac{- 40 \pm i \cdot \sqrt{20^{2} \cdot 11986}}{2 \cdot 1000}$

Schritt 10.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 40 \pm i \cdot (20 \sqrt{11986})}{2 \cdot 1000}$

Schritt 10.1.9

Bringe $20$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 40 \pm 20 i \sqrt{11986}}{2 \cdot 1000}$

Schritt 10.2

Mutltipliziere $2$ mit $1000$ .

$x = \frac{- 40 \pm 20 i \sqrt{11986}}{2000}$

Schritt 10.3

Vereinfache $\frac{- 40 \pm 20 i \sqrt{11986}}{2000}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \sqrt{11986}}{100}$

Schritt 10.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{- 2 - i \sqrt{11986}}{100}$

Schritt 10.5

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 2 - i \sqrt{11986}}{100}$

Schritt 10.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- i \sqrt{11986}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 2 - (i \sqrt{11986})}{100}$

Schritt 10.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (2) - (i \sqrt{11986})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (2 + i \sqrt{11986})}{100}$

Schritt 10.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{2 + i \sqrt{11986}}{100}$

Schritt 11

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{2 - i \sqrt{11986}}{100}, - \frac{2 + i \sqrt{11986}}{100}$