Algebravorstufe Beispiele

$0.5 x^{2} = 2 x + 0.5$

Schritt 1

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$0.5 x^{2} - 2 x = 0.5$

Schritt 2

Subtrahiere $0.5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$0.5 x^{2} - 2 x - 0.5 = 0$

Schritt 3

Faktorisiere $0.5$ aus $0.5 x^{2} - 2 x - 0.5$ heraus.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $0.5$ aus $0.5 x^{2}$ heraus.

$0.5 (x^{2}) - 2 x - 0.5 = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere $0.5$ aus $- 2 x$ heraus.

$0.5 (x^{2}) + 0.5 (- 4 x) - 0.5 = 0$

Schritt 3.3

Faktorisiere $0.5$ aus $- 0.5$ heraus.

$0.5 (x^{2}) + 0.5 (- 4 x) + 0.5 (- 1) = 0$

Schritt 3.4

Faktorisiere $0.5$ aus $0.5 (x^{2}) + 0.5 (- 4 x)$ heraus.

$0.5 (x^{2} - 4 x) + 0.5 (- 1) = 0$

Schritt 3.5

Faktorisiere $0.5$ aus $0.5 (x^{2} - 4 x) + 0.5 (- 1)$ heraus.

$0.5 (x^{2} - 4 x - 1) = 0$

Schritt 4

Teile jeden Ausdruck in $0.5 (x^{2} - 4 x - 1) = 0$ durch $0.5$ und vereinfache.

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Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in $0.5 (x^{2} - 4 x - 1) = 0$ durch $0.5$ .

$\frac{0.5 (x^{2} - 4 x - 1)}{0.5} = \frac{0}{0.5}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $0.5$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{0.5 (x^{2} - 4 x - 1)}{0.5} = \frac{0}{0.5}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $x^{2} - 4 x - 1$ durch $1$ .

$x^{2} - 4 x - 1 = \frac{0}{0.5}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Dividiere $0$ durch $0.5$ .

$x^{2} - 4 x - 1 = 0$

Schritt 5

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 6

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 4$ und $c = - 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Schritt 7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.3

Addiere $16$ und $4$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.4

Schreibe $20$ als $2^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 7.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Schritt 7.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{5}$

Schritt 8

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Schritt 8.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.3

Addiere $16$ und $4$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.4

Schreibe $20$ als $2^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 8.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Schritt 8.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{5}$

Schritt 8.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = 2 + \sqrt{5}$

Schritt 9

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Schritt 9.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.1.3

Addiere $16$ und $4$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.1.4

Schreibe $20$ als $2^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 9.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Schritt 9.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{5}$

Schritt 9.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = 2 - \sqrt{5}$

Schritt 10

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 2 + \sqrt{5}, 2 - \sqrt{5}$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = 2 + \sqrt{5}, 2 - \sqrt{5}$

Dezimalform:

$x = 4.23606797 \dots, - 0.23606797 \dots$