Algebravorstufe Beispiele

$x^{4} - 20 x^{2} = - 64$

Schritt 1

Addiere $64$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{4} - 20 x^{2} + 64 = 0$

Schritt 2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

${(x^{2})}^{2} - 20 x^{2} + 64 = 0$

Schritt 2.2

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$u^{2} - 20 u + 64 = 0$

Schritt 2.3

Faktorisiere $u^{2} - 20 u + 64$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $64$ und deren Summe $- 20$ ist.

$- 16, - 4$

Schritt 2.3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 16) (u - 4) = 0$

Schritt 2.4

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$(x^{2} - 16) (x^{2} - 4) = 0$

Schritt 2.5

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$(x^{2} - 4^{2}) (x^{2} - 4) = 0$

Schritt 2.6

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 4$ .

$(x + 4) (x - 4) (x^{2} - 4) = 0$

Schritt 2.7

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$(x + 4) (x - 4) (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Schritt 2.8

Faktorisiere.

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Schritt 2.8.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$(x + 4) (x - 4) ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Schritt 2.8.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 4) (x - 4) (x + 2) (x - 2) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Schritt 4

Setze $x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $x + 4$ gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

Schritt 4.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 5

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 5.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 6

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 6.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 7

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 7.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 4) (x - 4) (x + 2) (x - 2) = 0$ wahr machen.

$x = - 4, 4, - 2, 2$